Układ wielki kanoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Układ wielki kanoniczny, zespół wielki kanoniczny to pojęcie z fizyki statystycznej.

Jest to układ termodynamiczny spełniający następujące warunki:

  1. ma kontakt z termostatem tj. jest podukładem układu o stałej temperaturze
  2. ma kontakt z zasobnikem masy (może wymieniać cząstki z otoczeniem)
  3. ma stałą objętość \left( \frac{\partial V}{\partial t}=0 \right)

Wielka suma statystyczna[edytuj | edytuj kod]

 \Xi = \sum_{N=1}^{ \infty  }{ \int{e^{-\frac{H - \mu N}{kT}}}\;d{\Gamma_N}} = \sum_{N=1}^{\infty} {e^{\frac{\mu N}{kT}} \int{e^{-\frac{H}{kT}}}\;d{\Gamma_N}}

ale:

z = e^{\frac{\mu}{kT}} - aktywność
 Z_N =  \int{ e^{ -\frac{H}{kT} }\;d{\Gamma_N} } - suma kanoniczna układu N niezależnych cząstek

to:

 \Xi = \sum_{N=1}^{ \infty  }{z^N Z_N}

gdzie:

d{\Gamma_N} = \frac { d^N{\vec{r}}d^N{\vec{p}} } { N! h^{3N}}
H - Hamiltonian całego układu
k - stała Boltzmana
T - temperatura układu (równa temperaturze otoczenia)
\mu - potencjał chemiczny

Prawdopodobieństwo mikrostantów[edytuj | edytuj kod]

Prawdopodobieństwo stanu układu i-tego o energii E_i i liczbie cząstek N wynosi:

 p_i = \frac {e^{-\frac{E_i - \mu N}{kT}} } {\Xi}

Związek z termodynamiką[edytuj | edytuj kod]

W układzie wielkim kanonicznym definiujemy wielki potencjał kanoniczny (Ω):

 \Omega = F - \mu N = - k T \ln ( \Xi ) \,

 d\Omega = - p dV - S dT - N d\mu \,

więc:

 p = - { \left( \frac{\partial \Omega}{\partial V} \right) }_{T, \mu} - ciśnienie
 S = - { \left( \frac{\partial \Omega}{\partial T} \right) }_{V, \mu} - entropia
 \langle N\rangle = - { \left( \frac{\partial \Omega}{\partial \mu} \right) }_{T,V} - średnia liczba cząstek

Dodatkowo:

U = \frac{1}{\Xi} \sum_{N=0}^\infty {z^N \sum_{i=0}^N {E_{iN} e^{-\beta E_IN}}}
czyli
U = - \left( \frac{\partial }{\partial \beta} \ln(\Xi)\, \right)_{V, \mu}

Na mocy twierdzenia Eulera o funkcji jednorodnej: \Omega = - p V .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]