Układ współrzędnych walcowych

Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Każdy punkt $P$ przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych $(\rho,\phi,z)\,$, gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:

• $\rho\,$ — odległość od osi $OZ$ rzutu punktu $P\,$ na płaszczyznę $OXY$,
• $\phi\,$ — kąt pomiędzy osią dodatnią $OX$ a odcinkiem łączącym rzut punktu $P$ na płaszczyznę $OXY$ z początkiem układu współrzędnych,
• $z\,$ — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Wektor wodzący układu walcowego $\bar{r}_{W} = \overline{OP}$ łączy źródło pola z punktem P :

$\bar{r}_{W} = \overline{OP} = [\rho, \phi, z]$

Związki pomiędzy współrzędnymi cylindrycznymi oraz kartezjańskimi

$x=\rho\cos\phi\,$

$y=\rho\sin\phi\,$

$z=z\,$

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$

$\varphi = \begin{cases} 0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0\\ \arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{if } x \geq 0 \\ -\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\ \end{cases}$

Zależność wektorów w układzie współrzędnych kartezjańskim i walcowym.

Skoro $\bar{r}_{K} = [x, y, z]$ to $\bar{r}_{W} = [\sqrt{x^2 + y^2}, \arccos\frac{x}{\rho}, z]$

Skoro $\bar{r}_{W} = [\rho, \phi, z]$ to $\bar{r}_{K} = [\rho \cos\phi, \rho \sin\phi, z]$