Układ współrzędnych walcowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych (\rho,\phi,z)\,, gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:

  • \rho\, — odległość od osi OZ rzutu punktu P\, na płaszczyznę OXY,
  • \phi\, — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,
  • z\, — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Wektor wodzący układu walcowego \bar{r}_{W} = \overline{OP} łączy źródło pola z punktem P :

\bar{r}_{W} = \overline{OP} = [\rho, \phi, z]

Związki pomiędzy współrzędnymi cylindrycznymi oraz kartezjańskimi[edytuj | edytuj kod]

x=\rho\cos\phi\,
y=\rho\sin\phi\,
z=z\,
\rho=\sqrt{x^2+y^2}
\varphi = 
  \begin{cases}
   0 & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ ∧ } y = 0\\
    \arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{gdy } x \geq 0 \\
    -\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{gdy } x < 0\\
  \end{cases}

Zależność wektorów w układzie współrzędnych kartezjańskim i walcowym.

Skoro \bar{r}_{K} = [x, y, z] to \bar{r}_{W} = [\sqrt{x^2 + y^2}, \arccos\frac{x}{\rho}, z]
Skoro \bar{r}_{W} = [\rho, \phi, z] to \bar{r}_{K} = [\rho \cos\phi, \rho \sin\phi, z]