Uogólniona macierz odwrotna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore'a i Penrose'a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja

Niech $A\,$ będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz $B\,$ nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do $A\,$, jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

• $ABA = A\,$,
• $BAB = B\,$,
• $(AB)^\star = AB$,
• $(BA)^\star = BA$,

gdzie ${}^\star$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

$B = \lim_{\delta \to 0} (A^\star A + \delta I)^{-1} A^\star = \lim_{\delta \to 0} A^\star (A A^\star + \delta I)^{-1}$.

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze $\left(AA^\star\right)^{-1}$ oraz $\left(A^\star A\right)^{-1}$ nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz $B\,$ jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez $A^+\,$.

Własności

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

• Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją

  $\left(A^+\right)^+ = A$.

• Zachodzą następujące przemienności

  $\left(A^T\right)^+ = \left(A^+\right)^T$ (z transpozycją),

  $\left(\overline A\right)^+ = \overline{\left(A^+\right)}$ (ze sprzężeniem trywialnym),

  $\left(A^\star\right)^+ = \left(A^+\right)^\star$ (ze sprzężeniem hermitowskim).

• Dla każdego $\alpha \ne 0$ zachodzi równość

  $\left(\alpha A\right)^+ = \tfrac{1}{\alpha} A^+$.

Zobacz też

• macierz odwrotna