Uogólniona macierz odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore'a i Penrose'a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A\, będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz B\, nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do A\,, jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

  • ABA = A\,,
  • BAB = B\,,
  • (AB)^\star = AB,
  • (BA)^\star = BA,

gdzie {}^\star oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

B = \lim_{\delta \to 0} (A^\star A + \delta I)^{-1} A^\star = \lim_{\delta \to 0} A^\star (A A^\star + \delta I)^{-1}.

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze \left(AA^\star\right)^{-1} oraz \left(A^\star A\right)^{-1} nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz B\, jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez A^+\,.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]