Uzupełnienie Schura

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Uzupełnienie Schura — pojęcie w algebrze liniowej i teorii macierzy wiążące elementy macierzy blokowej.

Załóżmy, że A, B, C, D są macierzami o wymiarach p×p, p×q, q×p i q×q, oraz, że D jest odwracalna. Niech

M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]

tak, że M jest macierzą blokową o wymiarach (p+q)×(p+q). Wtedy uzupełnieniem Schura bloku D macierzy M jest macierz o wymiarach p×p dana przez

A-BD^{-1}C.

Uzupełnienie Schura jest wykorzystywane m.in. w eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.

Zastosowania w algebrze liniowej[edytuj | edytuj kod]

Uzupełnienie Schura jest w sposób naturalny wykorzystywane przy rozwiązywaniu układu równań liniowych

Ax + By = a
Cx + Dy = b

gdzie x oraz a są wektorami o wymiarach p, natomiast y, b są wektorami o wymiarach q. Macierze A, B, C, D są zdefiniowane jak powyżej. Po pewnych przekształceniach dostajemy

(A - BD^{-1} C) x = a - BD^{-1} b.\,

Wobec tego, jeżeli można odwrócić zarówno macierz D jak i jej uzupełnienie Schura, wtedy można znaleźć x i używając równania Cx + Dy = b wyznaczyć y. W ten sposób problem odwracania macierzy (p+q) \times (p+q) został zredukowany do problemu odwracania macierzy p×p oraz q×q. Jednak w praktyce algorytm ten może nie być dokładny.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Z. Fuzhen, The Schur Complement and Its Applications, Springer, 2005, ISBN 0387242716.