Uzwarcenie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Uzwarcenie (kompaktyfikacja, przedłużenie zwarte) — w topologii rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by była ona przestrzenią zwartą.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Uzwarceniem przestrzeni (X, \tau) nazywamy parę (Y, e) taką, że Y jest zwartą przestrzenią topologiczną, zaś e\colon X \to Y jest zanurzeniem homeomorficznym oraz e(X) jest gęstym podzbiorem Y. Jeśli dodatkowo Y \in T_2, czyli Y jest przestrzenią Hausdorffa, to uzwarcenie (Y, e) nazywa się uzwarceniem Hausdorffa (T_2).

Zwykle pomija się zanurzenie e, szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń Y jest uzwarceniem przestrzeni X. Często też utożsamiamy punkty x\in X z ich obrazami e(x) \in Y i traktujemy X jako podprzestrzeń przestrzeni Y.

Warto zauważyć, że jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.

Uzwarcenie jednopunktowe[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau_X) będzie niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną i niech \infty będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru X. Połóżmy Y=X\cup\{\infty\} i

\tau_Y=\tau_X\cup\big\{U\cup\{\infty\}:U\in \tau_X i X\setminus U jest zwartym podzbiorem X\big\}.

Wówczas (Y,\tau_Y) jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe {\rm id}_X:X\longrightarrow X\subseteq Y jest zanurzeniem homeomorficznym i X jest gęstym podzbiorem. Tak więc (Y,{\rm id}_X) jest uzwarceniem przestrzeni X. Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T2. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej X jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy X jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń X jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia X, jako że wtedy X nie będzie gęstym podzbiorem Y. Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna[1] w 1929.

Uzwarcenia Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Każda zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ "bycie przestrzenią Tichonowa" jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna X ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń X musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń T_{3\frac{1}{2}} może być zanurzona w produkt [0,1]^I pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń [0,1]^I jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna X ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią całkowicie regularną.

Uzwarcenia Čecha-Stone'a[edytuj | edytuj kod]

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej X, jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter – jest to uzwarcenie Čecha-Stone'a \beta X. Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone'a w latach 30. XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

  • Twierdzenie Stone'a: Każda całkowicie regularna przestrzeń X ma uzwarcenie Hausdorffa \beta X takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni X w zwartą przestrzeń T2 może być przedłużone na \beta X.
  • Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń X ma uzwarcenie Hausdorffa \beta X takie, że każde dwa podzbiory X oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie \beta X jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na X). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni X jest ciągłym obrazem przestrzeni \beta X przez odwzorowanie które jest identycznością na X.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929)