Uzwarcenie Čecha-Stone'a

Uzwarcenie Čecha-Stone'a - maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania T₁. Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone'a w 1937.

Określenie i konstrukcja

Andriej Tichonow udowodnił, że każda całkowicie regularna przestrzeń typu T₁ wagi κ jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Tichonowa [0,1]^κ. Z twierdzenia tego można wyprowadzić, że przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie (będące przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią tego rodzaju.

Jeżeli (Y₁, e₁) i (Y₂, e₂) są uzwarceniami danej przestrzeni X, to można zdefiniować między nimi relację

$(Y_1,e_1)\sqsubseteq (Y_2,e_2)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja ciągła f: Y₂ → Y₁ spełniająca warunek $f\circ e_2=e_1$

Ponadto, jeżeli

$(Y_1,e_1)\sqsubseteq (Y_2,e_2)$ oraz $(Y_2,e_2)\sqsubseteq (Y_1,e_1)$,

to istnieje homeomorfizm h: Y₁ → Y₂ spełniający warunek

$h\circ e_1=e_2$.

Rodzina wszystkich uzwarceniń Hausdorffa przestrzeni X jest klasą właściwą. Relacja $\sqsubseteq$ pozwala ograniczyć się wyłącznie do klas abstrakcji tej relacji - zabieg ten nie gwarantuje jednak, że klasy abstrakcji będą zbiorami. Z drugiej strony, X jest z określenia gęstą podprzestrzenią swojego uzwarcenia, a więc waga każdego z uzwarceń nie przekracza liczby λ = 2^d(X), gdzie d(X) oznacza gęstość przestrzeni X. Spostrzenie to pozwala utożsamiać każde uzwarcenie przestrzeni X z podzbiorem kostki Tichonowa [0,1]^λ, co pozwala już rozważać zbiór $\mathcal{R}(X)$ (a nie klasę właściwą) wszystkich (typów) uzwarceń przestrzeni X.

Twierdzenie o przekątnej gwarantuje, że każdy niepusty podzbiór $\mathcal{R}(X)$ ma element maksymalny, a więc w szczególności, że w $\mathcal{R}(X)$ istnieje element największy - element ten oznaczany jest symbolem βX i nazywany jest uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni X.

Własności

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone'a βX przestrzeni X. Następujące twierdzenie, podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech (X, τ) będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną T₁. Wówczas X ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu) uzwarcenie βX, które ma następujące równoważne własności:

1. każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni X w zwartą przestrzeń T₂ może być przedłużone (jednoznacznie) na βX,
2. każde uzwarcenie przestrzeni X jest ciągłym obrazem przestrzeni βX przez odwzorowanie które jest identycznością na X,
3. każda ograniczona funkcja ciągła $f\colon X\to {\mathbb R}$ ma przedłużenie ciągłe na βX,
4. jeśli Z₁, Z₂ są zbiorami punktów zerowych pewnych rzeczywistych funkcji ciągłych na X, to

${\rm cl}_{\beta X}(Z_1)\cap {\rm cl}_{\beta X}(Z_2)={\rm cl}_{\beta X}(Z_1\cap Z_2)$,

1. rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z X w ${\mathbb R}$ mają rozłączne domknięcia w βX,
2. każde dwa podzbiory X oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w βX,
3. każdy punkt w βX jest granicą jedynego z-ultrafiltru na X.

Konstrukcja βX

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie $\beta X$ w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące $\beta X$. Niech $C=C^*(X)$ będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w odcinek domknięty $[0, 1]$ i niech zbiór $[0, 1]^{C}$ wszystkich funkcji z $C$ w $[0,1]$ będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka $[0,1]$. Wyposażmy $[0, 1]^{C}$ w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

$e:X \longrightarrow [0, 1]^C: x \mapsto ( f(x) )_{f \in C}$.

Sprawdza się, że $e$ jest homeomorfizmem z $X$ na $e(X)$ (gdzie $e(X)$ jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni $[0, 1]^{C}$). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń $[0, 1]^{C}$ jest zwarta. Niech $K$ będzie domknięciem $e(X)$ w $[0, 1]^{C}$. Wówczas $(e,K)$ jest uzwarceniem T₂ przestrzeni $X$.

Dla funkcji ciągłej $f:X\longrightarrow [0,1]$ rozważmy funkcję $f^*:K\longrightarrow [0,1]$ daną przez warunek $f^*(k)=k(f)$. Można łatwo zweryfikować, że $f^*$ jest funkcją ciągłą oraz $f^*(e(x))=f(x)$ dla $x\in X$. Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że $K$ spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

Uzwarcenie $\beta {\mathbb N}$ przestrzeni liczb naturalnych

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie $\beta {\mathbb N}$ przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną. $\beta {\mathbb N}$ jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów ${\mathbb N}$.

Niech $\beta {\mathbb N}$ będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na ${\mathbb N}$. Dla zbioru $A\subseteq {\mathbb N}$ niech

$U_A=\{F\in \beta {\mathbb N}:A\in F\}$.

Wówczas rodzina

$\{U_A\colon A\subseteq{\mathbb N}\}$

jest bazą pewnej topologii $\tau_{\beta {\mathbb N}}$ na $\beta {\mathbb N}$. Przestrzeń topologiczna $(\beta {\mathbb N},\tau_{\beta {\mathbb N}})$ jest zwartą przestrzenią T₂ a funkcja

$e\colon {\mathbb N}\longrightarrow\beta {\mathbb N}$

odwzorowująca liczbę $n\in {\mathbb N}$ na ultrafiltr główny generowany przez $\{n\}$ jest zanurzeniem homeomorficznym którego obraz jest gęsty w $\beta {\mathbb N}$. Zatem $(\beta {\mathbb N},e)$ jest uzwarceniem przestrzeni ${\mathbb N}$ i można sprawdzić że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone'a.

Przykładowe własności $\beta {\mathbb N}$:

• Przestrzeń $\beta {\mathbb N}$ jest ośrodkowa i minimalna moc bazy tej przestrzeni wynosi $2^{\aleph_0}$ (istnieje przy tym baza mocy $2^{\aleph_0}$ złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych).
• $\beta {\mathbb N}$ jest ekstremalnie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Punkt należący do $\beta {\mathbb N}$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada ultrafiltrowi głównemu generowanemu przez pewną liczbą naturalną.
• $\beta {\mathbb N}$ jest mocy $2^{2^{\aleph_0}}$.
• Jeśli $p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$, to $\{p\}$ nie jest zbiorem typu G_δ.
• Jeśli CH jest prawdziwa i $p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$, to $(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\}$ nie jest przestrzenią normalną.
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy $\leqslant\aleph_1$ jest ciągłym obrazem $\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$.
• $\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ zawiera kopie homeomorficzne przestrzeni $\beta {\mathbb N}$ (jednak żadna taka kopia nie jest podzbiorem domknięto-otwartym $\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$).
• Przestrzeń Banacha $C(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią $\ell_\infty / c_0$ (a nawet przestrzenie te są *-izomorficzne jako C*-algebry).

Zobacz też

• przestrzeń zupełna w sensie Čecha,
• twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a,
• aksjomaty oddzielania.