Uzwarcenie Čecha-Stone'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Uzwarcenie Čecha-Stone'a - maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania T1. Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha[1] i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone'a[2] w 1937.

Określenie i konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Andriej Tichonow udowodnił, że każda całkowicie regularna przestrzeń typu T1 wagi κ jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Tichonowa [0,1]κ. Z twierdzenia tego można wyprowadzić, że przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie (będące przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią tego rodzaju.

Jeżeli (Y1, e1) i (Y2, e2) są uzwarceniami danej przestrzeni X, to można zdefiniować między nimi relację

(Y_1,e_1)\sqsubseteq (Y_2,e_2) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja ciągła f: Y2 Y1 spełniająca warunek f\circ e_2=e_1

Ponadto, jeżeli

(Y_1,e_1)\sqsubseteq (Y_2,e_2) oraz (Y_2,e_2)\sqsubseteq (Y_1,e_1),

to istnieje homeomorfizm h: Y1 Y2 spełniający warunek

h\circ e_1=e_2.

Rodzina wszystkich uzwarceniń Hausdorffa przestrzeni X jest klasą właściwą. Relacja \sqsubseteq pozwala ograniczyć się wyłącznie do klas abstrakcji tej relacji - zabieg ten nie gwarantuje jednak, że klasy abstrakcji będą zbiorami. Z drugiej strony, X jest z określenia gęstą podprzestrzenią swojego uzwarcenia, a więc waga każdego z uzwarceń nie przekracza liczby λ = 2d(X), gdzie d(X) oznacza gęstość przestrzeni X. Spostrzenie to pozwala utożsamiać każde uzwarcenie przestrzeni X z podzbiorem kostki Tichonowa [0,1]λ, co pozwala już rozważać zbiór \mathcal{R}(X) (a nie klasę właściwą) wszystkich (typów) uzwarceń przestrzeni X.

Twierdzenie o przekątnej gwarantuje, że każdy niepusty podzbiór \mathcal{R}(X) ma element maksymalny, a więc w szczególności, że w \mathcal{R}(X) istnieje element największy - element ten oznaczany jest symbolem βX i nazywany jest uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni X.

Własności[edytuj | edytuj kod]

W literaturze topologicznej istnieje wiele równoważnych charakteryzacji uzwarcenia Čecha-Stone'a βX przestrzeni X. Następujące twierdzenie[3], podaje kilka z nich.

Twierdzenie: Niech (X, τ) będzie całkowicie regularną przestrzenią topologiczną T1. Wówczas X ma jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu) uzwarcenie βX, które ma następujące równoważne własności:

  1. każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni X w zwartą przestrzeń T2 może być przedłużone (jednoznacznie) na βX,
  2. każde uzwarcenie przestrzeni X jest ciągłym obrazem przestrzeni βX przez odwzorowanie które jest identycznością na X,
  3. każda ograniczona funkcja ciągła f\colon X\to {\mathbb R} ma przedłużenie ciągłe na βX,
  4. jeśli Z1, Z2 są zbiorami punktów zerowych pewnych rzeczywistych funkcji ciągłych na X, to
{\rm cl}_{\beta X}(Z_1)\cap {\rm cl}_{\beta X}(Z_2)={\rm cl}_{\beta X}(Z_1\cap Z_2),
  1. rozłączne zbiory punktów zerowych funkcji ciągłych z X w {\mathbb R} mają rozłączne domknięcia w βX,
  2. każde dwa podzbiory X oddzielalne przez funkcję ciągłą mają rozłączne domknięcia w βX,
  3. każdy punkt w βX jest granicą jedynego z-ultrafiltru na X.

Konstrukcja βX[edytuj | edytuj kod]

Powyżej, zdefiniowaliśmy uzwarcenie \beta X w terminach abstrakcyjnych własności. Można jednak podać konstrukcję uzwarcenia spełniającego (równoważne) warunki definiujące \beta X. Niech C=C^*(X) będzie zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni X w odcinek domknięty [0, 1] i niech zbiór [0, 1]^{C} wszystkich funkcji z C w [0,1] będzie traktowany jako produkt różnych kopii odcinka [0,1]. Wyposażmy [0, 1]^{C} w topologię produktową i rozważmy odwzorowanie

e:X \longrightarrow [0, 1]^C: x \mapsto ( f(x) )_{f \in C}.

Sprawdza się, że e jest homeomorfizmem z X na e(X) (gdzie e(X) jest rozważane z topologią podprzestrzeni przestrzeni [0, 1]^{C}). Na mocy twierdzenia Tichonowa, przestrzeń [0, 1]^{C} jest zwarta. Niech K będzie domknięciem e(X) w [0, 1]^{C}. Wówczas (e,K) jest uzwarceniem T2 przestrzeni X.

Dla funkcji ciągłej f:X\longrightarrow [0,1] rozważmy funkcję f^*:K\longrightarrow [0,1] daną przez warunek f^*(k)=k(f). Można łatwo zweryfikować, że f^* jest funkcją ciągłą oraz f^*(e(x))=f(x) dla x\in X. Bezpośrednio stąd możemy wywnioskować, że K spełnia trzeci warunek twierdzenia sformułowanego w poprzedniej sekcji.

Uzwarcenie \beta {\mathbb N} przestrzeni liczb naturalnych[edytuj | edytuj kod]

Wśród uzwarceń maksymalnych przestrzeni topologicznych, chyba najbardziej zbadanym jest uzwarcenie \beta {\mathbb N} przestrzeni liczb naturalnych wyposażonej w topologię dyskretną. \beta {\mathbb N} jest obiektem badanym także w teorii mnogości, gdzie duże znaczenie ma reprezentacja tej przestrzeni jako przestrzeni ultrafiltrów (filtrów maksymalnych) podzbiorów {\mathbb N}.

Niech \beta {\mathbb N} będzie zbiorem wszystkich ultrafiltrów na {\mathbb N}. Dla zbioru A\subseteq {\mathbb N} niech

U_A=\{F\in \beta {\mathbb N}:A\in F\}.

Wówczas rodzina

\{U_A\colon A\subseteq{\mathbb N}\}

jest bazą pewnej topologii \tau_{\beta {\mathbb N}} na \beta {\mathbb N}. Przestrzeń topologiczna (\beta {\mathbb N},\tau_{\beta {\mathbb N}}) jest zwartą przestrzenią T2 a funkcja

e\colon {\mathbb N}\longrightarrow\beta {\mathbb N}

odwzorowująca liczbę n\in {\mathbb N} na ultrafiltr główny generowany przez \{n\} jest zanurzeniem homeomorficznym którego obraz jest gęsty w \beta {\mathbb N}. Zatem (\beta {\mathbb N},e) jest uzwarceniem przestrzeni {\mathbb N} i można sprawdzić że spełnia ono warunek 6 z twierdzenia podanego w drugiej sekcji. Zatem jest to uzwarcenie Čecha-Stone'a.

Przykładowe własności \beta {\mathbb N}:

  • Przestrzeń \beta {\mathbb N} jest ośrodkowa i minimalna moc bazy tej przestrzeni wynosi 2^{\aleph_0} (istnieje przy tym baza mocy 2^{\aleph_0} złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych).
  • \beta {\mathbb N} jest ekstremalnie niespójna (a więc także zerowymiarowa). Punkt należący do \beta {\mathbb N} jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada ultrafiltrowi głównemu generowanemu przez pewną liczbą naturalną.
  • \beta {\mathbb N} jest mocy 2^{2^{\aleph_0}}.
  • Jeśli p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}, to \{p\} nie jest zbiorem typu Gδ.
  • Jeśli CH jest prawdziwa i p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}, to (\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\} nie jest przestrzenią normalną.
  • Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa mająca bazę mocy \leqslant\aleph_1 jest ciągłym obrazem \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}.
  • \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N} zawiera kopie homeomorficzne przestrzeni \beta {\mathbb N} (jednak żadna taka kopia nie jest podzbiorem domknięto-otwartym \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}).
  • Przestrzeń Banacha C(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}) jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią \ell_\infty / c_0 (a nawet przestrzenie te są *-izomorficzne jako C*-algebry).

Przypisy

  1. Čech, Eduard, On bicompact spaces. Ann. of Math. (2) 38 (1937), no. 4, 823-844.
  2. Stone, Marshall H., Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Transactions of the American Mathematical Society 41 (1937), no. 3, 375-481.
  3. Walker, Russell C. The Stone-Čech compactification. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 83. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974. x+332 pp, strona 25. ISBN 0-387-06699-3.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]