Value at risk

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Value at risk (lub wartość zagrożona ryzykiem) jest jedną z popularniejszych miar ryzyka. Znajduje zastosowanie w matematyce finansowej oraz ubezpieczeniowej. Jej wartość wyraża graniczny poziom straty znaleziony dla ustalonego \alpha będącego prawdopodobieństwem jej osiągnięcia. Równoważną interpretacją tego pojęcia jest kwota gotówki jaką należy dodać do pozycji, aby prawdopodobieństwo jakiejkolwiek straty (wartości ujemnej) było mniejsze lub równe poziomowi \alpha.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X oznacza wartość pewnego portfelu aktywów, natomiast \alpha pewien graniczny poziom prawdopodobieństwa. Wartość zagrożona wyraża się wzorem:

VaR_{\alpha}(X)=-\sup\left\{x \in \mathbb{R}:  \mathbb{P}(X \leq x ) \leq \alpha \right\}=\inf\left\{x \in \mathbb{R} : \mathbb{P}( X+x<0) \leq \alpha \right\}=-q^+_\alpha(X),

gdzie q^+_\alpha(X) jest górnym kwantylem rzędu \alpha zmiennej X.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • jeśli  X \geq 0 , to VaR_{\alpha}(X)\leq 0
  • niezmenniczość ze względu na przesunięcia:  VaR_{\alpha}(X+c) = VaR_{\alpha}(X)-c, gdzie c \in \mathbb{R}
  • dodatnia jednorodność:  VaR_{\alpha}(\lambda X ) =\lambda VaR_{\alpha}(X) dla  \lambda \geq 0
  • monotoniczność: X\geq Y, to VaR_{\alpha}(X)\leq VaR_{\alpha}(Y)

Dla rozkładów eliptycznych (w tym rozkładu rozkładu normalnego) zachodzi ponadto własność podaddytywności:

  • VaR_{\alpha}(X+Y)\leq VaR_{\alpha}(X)+VaR_{\alpha}(Y)

Sposoby wyznaczania[edytuj | edytuj kod]

  • analiza wartości historycznych - metoda ta polega na konstruowaniu rozkładu empirycznego w oparciu o dane historyczne
  • metody Monte Carlo - polegają na przeprowadzeniu doświadczenia losowego przy przyjętych założeniach o rozkładzie wartości portfela i na tej podstawie wyznaczeniu wartości zagrożonej
  • metody analityczne - polegają na przyjęciu założeń dotyczących modelowania wartości portfela, a następnie bezpośrednim wyznaczeniu ich wartości

Krytyka[edytuj | edytuj kod]

Krytyka wartości zagrożonej jest w dużej mierze spowodowana stosowaniem rozkładu Gaussowskiego dla analizowanych zdarzeń. Przybliżenie uzyskiwane poprzez przyjęcie założenia o normalności rozkładu niesie za sobą poważne konsekwencje w postaci niedostatecznie grubych ogonów co w sposób istotny wpływa na współczynnik VaR_{\alpha}(X).

Kolejną wadą towarzyszącą stosowaniu wartości zagrożonej do konstruowania wymogów związanych z ryzykiem finansowym jest brak informacji o kształcie rozkładu strat dla wartości bezwzględnie większych od poziomu VaR_{\alpha}(X). Problem ten doprowadził do powstania warunkowej wartości zagrożonej.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.