Własność Baire'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W topologii i teorii mnogości, własność Baire'a jest własnością podzbiorów przestrzeni mówiącą, że w pewnym sensie rozważany zbiór jest regularny.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór A\subseteq X ma własność Baire'a jeśli można go przedstawić jako różnicę symetryczną dwóch zbiorów: otwartego i pierwszej kategorii. Tak więc A\subseteq X ma własność Baire'a wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zbiory U,P takie, że U\in\tau, P jest pierwszej kategorii oraz A=U\dot{-}P.

Nazwa tej własności została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire'a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte jak i zbiory pierwszej kategorii.
  • Jeśli podzbiór Z przestrzeni polskiej X ma własność Baire'a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura \Game^{\rm BM}(Z) jest zdeterminowana.
  • Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji implikuje że wszystkie podzbiory prostej mają własność Baire'a[1]

Własność Baire'a a mierzalność w sensie Lebesgue'a[edytuj | edytuj kod]

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue'a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw jak i przeciwieństw między tymi własnościami[2][3].

jeśli X,Y są przestrzeniami polskimi i A\subseteq X\times Y jest zbiorem o własności Baire'a,
to A jest zbiorem pierwszej kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
\big\{x\in X:\{y\in Y:(x,y)\in A\} nie jest pierwszej kategorii w Y\;\big\}
jest pierwszej kategorii w X. (W istocie wystarczy założenie, że X, YHausdorffa i Y ma przeliczalną π-bazę.)

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

  • Niech X będzie przestrzenią polską i A\subseteq X. Wówczas można znaleźć zbiór B\subseteq X mający własność Baire'a i taki, że
jeśli C\subseteq B\setminus A ma własność Baire'a, to C jest pierwszej kategorii.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

  • W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a i mają własność Baire'a[5].
  • W 1984, Saharon Shelah wykazał, że[6]
    • model w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
    • mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że \omega_1 jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire'a a mierzalnością w sensie Lebesgue'a.

  • Randall Dougherty and Matthew Foreman[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire'a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne.)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Mycielski, Jan; Steinhaus, H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
  2. Oxtoby, John C. Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980. x+106 pp. ISBN 0-387-90508-1
  3. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
  4. Kuratowski, Kazimierz; Ulam, Stanisław. Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, "Fundamenta Mathematicae" 19 (1932) 247-251
  5. Solovay, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. 92 (1970) 1-56
  6. Shelah, Saharon. Can you take Solovay's inaccessible away? Israel J. Math. 48 (1984) 1-47
  7. Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), no. 1, 75-124