Własność Darboux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Własność Darboux jest jedną z najważniejszych własności funkcji ciągłych.

Funkcja f\colon\mathbb R \to \mathbb R ma własność Darboux jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności:

Jeżeli  a<b, f(a)\cdot f(b) < 0, obraz funkcji f obejmuje cały przedział [f(a),f(b)] (albo [f(b), f(a)]), więc istnieje taka wartość c należąca do przedziału otwartego (a,b), że f(c)=0.

Mówimy że funkcja f\colon X\to Y między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni X jest podzbiorem spójnym przestrzeni Y. (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór A \subseteq \mathbb R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przedziałem.)

  • Nie każda funkcja o własności Darboux jest ciągła. Na przykład, funkcja
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin\frac{1}{x},& x>0\\0,& x\le 0\end{array}\right.
ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.
  • Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux. Za pomocą indukcji pozaskończonej można[1] znaleźć taką funkcję f\colon\mathbb R\to \mathbb R o własności Darboux, że nawet funkcja  g(x):= f(x) + x nie ma własności Darboux.
  • Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze.

Przypisy

  1. T. Radakovič, Über Darbouxsche und stetige Funktionen, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), s.117-122