Własność Markowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Własność Markowa w rachunku prawdopodobieństwa to własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.

Procesy stochastyczne, które posiadają własność Markowa, nazywamy procesami Markowa. Typowym przykładem w fizyce jest proces opisujący ruchy Browna.

W procesach z czasem ciągłym[edytuj | edytuj kod]

Dla procesów z czasem ciągłym, jeżeli X(t),\ t>0 jest procesem stochastycznym, własność Markowa oznacza, że

\forall h > 0 \quad \mathrm{Pr}\big[X(t+h) \leqslant y \,|\forall s \leqslant t\,\ X(s) = x(s) \big] = \mathrm{Pr}\big[X(t+h) \leqslant y \,|\, X(t) = x(t)\big].

Procesy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od t (więc dla każdego t pozostają te same):

\forall t, h > 0 \quad \mathrm{Pr}\big[X(t+h) \leqslant y \,|\, X(t) = x\big] = \mathrm{Pr}\big[X(h) \leqslant y \,|\, X(0) = x\big]

a w przeciwnym wypadku niejednorodnymi.

Jednorodne procesy Markowa, zwykle prostsze niż niejednorodne, są najważniejszą klasą procesów Markowa.

W procesach z czasem dyskretnym[edytuj | edytuj kod]

Dla dyskretnych procesów Markowa (tzw. łańcuchów Markowa):

 P(X_{n+1}\leqslant y|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n) = P(X_{n+1}\leqslant y|X_n)

Analogicznie do procesów z czasem ciągłym, łańcuchy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od indeksu stanu n:

 P(X_{n+1}\leqslant y|X_n) = P(X_{1}\leqslant y|X_0)

Mocna własność Markowa[edytuj | edytuj kod]

Mocna własność Markowa oznacza, że powyższe równania są spełnione nie tylko dla dowolnego ustalonego czasu t (albo w przypadku dyskretnym dla ustalonego n), lecz dla czasu będącego zmienną losową zależną od przeszłości procesu. Mocna własność Markowa implikuje własność Markowa, odwrotna implikacja jednak nie zachodzi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]