Własność Markowa

Własność Markowa w rachunku prawdopodobieństwa to własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.

Procesy stochastyczne, które posiadają własność Markowa, nazywamy procesami Markowa. Typowym przykładem w fizyce jest proces opisujący ruchy Browna.

W procesach z czasem ciągłym

Dla procesów z czasem ciągłym, jeżeli $X(t),\ t>0$ jest procesem stochastycznym, własność Markowa oznacza, że

$\forall h > 0 \quad \mathrm{Pr}\big[X(t+h) \leqslant y \,|\forall s \leqslant t\,\ X(s) = x(s) \big] = \mathrm{Pr}\big[X(t+h) \leqslant y \,|\, X(t) = x(t)\big].$

Procesy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od t (więc dla każdego t pozostają te same):

$\forall t, h > 0 \quad \mathrm{Pr}\big[X(t+h) \leqslant y \,|\, X(t) = x\big] = \mathrm{Pr}\big[X(h) \leqslant y \,|\, X(0) = x\big]$

a w przeciwnym wypadku niejednorodnymi Jednorodne procesy Markowa, zwykle prostsze niż niejednorodne, są najważniejszą klasą procesów Markowa.

W procesach z czasem dyskretnym

Dla dyskretnych procesów Markowa (tzw. łańcuchów Markowa):

$P(X_{n+1}\leqslant y|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n) = P(X_{n+1}\leqslant y|X_n)$

Analogicznie do procesów z czasem ciągłym, łańcuchy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od indeksu stanu n:

$P(X_{n+1}\leqslant y|X_n) = P(X_{1}\leqslant y|X_0)$

Mocna własność Markowa

Mocna własność Markowa oznacza, że powyższe równania są spełnione nie tylko dla dowolnego ustalonego czasu $t$ (albo w przypadku dyskretnym dla ustalonego $n$), lecz dla czasu będącego zmienną losową zależną od przeszłości procesu. Mocna własność Markowa implikuje własność Markowa, odwrotna implikacja jednak nie zachodzi.

Zobacz też

• łańcuch Markowa
• Andriej Markow