Własność Markowa

Własność Markowa – własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.

Procesy stochastyczne, które posiadają własność Markowa, nazywamy procesami Markowa. Typowym przykładem w fizyce jest proces opisujący ruchy Browna.

W procesach z czasem ciągłym

Dla procesów z czasem ciągłym, jeżeli $X(t),\ t>0$ jest procesem stochastycznym, własność Markowa oznacza, że

$\forall h>0\quad \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)\leqslant y\,|\forall s\leqslant t\,\ X(s)=x(s){\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)\leqslant y\,|\,X(t)=x(t){\big ]}.$

Procesy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od $t$ (więc dla każdego $t$ pozostają te same):

$\forall t,h>0\quad \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)\leqslant y\,|\,X(t)=x{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(h)\leqslant y\,|\,X(0)=x{\big ]},$

a w przeciwnym wypadku niejednorodnymi.

Jednorodne procesy Markowa, zwykle prostsze niż niejednorodne, są najważniejszą klasą procesów Markowa.

W procesach z czasem dyskretnym

Dla dyskretnych procesów Markowa (tzw. łańcuchów Markowa):

$P(X_{n+1}\leqslant y|X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=P(X_{n+1}\leqslant y|X_{n}).$

Analogicznie do procesów z czasem ciągłym, łańcuchy Markowa są nazywane jednorodnymi, jeśli prawdopodobieństwa nie zależą od indeksu stanu $n{:}$

$P(X_{n+1}\leqslant y|X_{n})=P(X_{1}\leqslant y|X_{0}).$

Mocna własność Markowa

Mocna własność Markowa oznacza, że powyższe równania są spełnione nie tylko dla dowolnego ustalonego czasu $t$ (albo w przypadku dyskretnym dla ustalonego $n$), lecz dla czasu będącego zmienną losową zależną od przeszłości procesu. Mocna własność Markowa implikuje własność Markowa, odwrotna implikacja jednak nie zachodzi.

Zobacz też

• łańcuch Markowa
• Andriej Markow