Wahadło Foucaulta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy wahadła fizycznego. Zobacz też: Wahadło Foucaulta (powieść).
Wahadło Foucaulta w Panteonie w Paryżu

Wahadło Foucaultawahadło mające możliwość wahań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Powolna zmiana płaszczyzny ruchu wahadła względem Ziemi dowodzi jej obrotu wokół własnej osi. Nazwa wahadła upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który zademonstrował je w lutym 1851 roku w Paryskim Obserwatorium Astronomicznym. Kilka tygodni później eksperyment powtórzono w Panteonie w Paryżu.

Działanie[edytuj | edytuj kod]

Animacja ruchu wahadła na półkuli południowej. Obrót płaszczyzny drgań przesadzony.

Jeżeli wahadło wprawić w ruch, to po pewnym czasie obserwator na Ziemi zauważy, że płaszczyzna wahań zmieniła się. Gdyby wahadło umieścić na biegunie geograficznym Ziemi i puścić je tak by w układzie odniesienia względem gwiazd poruszało się w płaszczyźnie zawierającej oś obrotu Ziemi, to zawieszenie wahadła (umieszczone na osi obrotu Ziemi) nie zmieni płaszczyzny drgań wahadła, dlatego w ciągu doby (gwiazdowej) płaszczyzna jego wahań obróci się względem obserwatora na Ziemi o 360°[1].

Na mniejszych szerokościach geograficznych obrót będzie odpowiednio wolniejszy. Szybkość obrotu płaszczyzny wahań zależy od szerokości geograficznej φ i wynosi:

15°·sin(φ) na godzinę.
Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.
Wahadło Foucaulta w budynku Wydziału Fizyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Historia[edytuj | edytuj kod]

Przed Foucaultem zmianę płaszczyzny drgań wahadła zaobserwował w 1660 lub 1661 roku Vincenzo Viviani, ale nie powiązał tego z ruchem obrotowym Ziemi[2]. Według relacji Foucaulta, pierwszej próby obserwacji zmian płaszczyzny drgań wahadła o długości 2 m i masie około 5 kg dokonał on w dniu 8 stycznia 1851 roku (być może 6, 7 lub 8) o godzinie 2 w nocy w piwnicy swojego domu. W dniu 3 lutego zorganizował pokaz dla zaproszonych gości z 11 metrowym wahadłem w paryskim obserwatorium astronomicznym. Dzięki wsparciu prezydenta Francji Luisa Napoleona zorganizował w dniu 31 marca 1851 roku publiczną prezentację w Panteonie. Na stalowym drucie zawieszony został mosiężny obciążnik o masie 28 kg, wahadło miało długość 67 m (220 stóp, 62 funty)[3]. Ten wielokrotnie powtarzany pokaz przyciągał tłumy i wywołał manię wahadła w Europie i Stanach Zjednoczonych[4].

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Wahadło Foucaulta rozpatruje się jako wahadło matematyczne zaburzane przez siłę wywołaną obrotem punktu zawieszenia wahadła. Dla uproszczenia zakłada się, że amplituda drgań jest na tyle mała, aby dla siły zaburzającej uznać, że oscylująca masa wahadła przesuwa się poziomo. Przyjmuje się układ współrzędnych, w którym punkt O jest punktem równowagi wahadła, płaszczyzna Oxy jest pozioma, oś Ox skierowana na wschód a Oy w na północ. Trzecia oś Oh jest pionowa i skierowana do góry.

Wahadło matematyczne[edytuj | edytuj kod]

W przypadku małych wychyleń i pomijając obrót Ziemi względem inercjalnego układu odniesienia, równania ruchu wahadła matematycznego określone są przez:

 \left \{ \begin{matrix} \ddot{x} = - \omega^2 x\\ \ddot{y}= - \omega^2 y \end{matrix} \right.
\omega = \sqrt{g/l}

gdzie:

  • ω - częstość kołowa wahadła matematycznego,
  • g - przyspieszenie ziemskie,
  • l - długość wahadła.

Zakładając, że w czasie t = 0, wahadło przechodzi przez O z prędkością V0 wzdłuż osi Ox, wówczas rozwiązanie można przedstawić jako:

 \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t), \\ y = &0. \end{matrix} .

Wahadło takie porusza się w niezmieniającej swego położenia płaszczyźnie.

Równania ruchu wahadła Foucaulta[edytuj | edytuj kod]

Ciało poruszające się względem Ziemi, z powodu jej obrotu względem inercjalnego układu odniesienia, doznaje przyspieszenia Coriolisa. Dla ciała poruszającego się poziomo, oraz pomijając przyspieszenia działające w kierunku pionowym, równania ruchu wahadła przyjmują postać:

 \left\{\begin{matrix} \ddot{x} = - \omega^2 x + 2\dot{y} \Omega\sin{\theta},\\ \ddot{y} = - \omega^2 y - 2\dot{x} \Omega \sin{\theta}.\end{matrix}\right.

Używając liczb zespolonych i przyjmując z=x+iy, powyższe można wyrazić wzorem:

 \ddot{z}+2i\Omega\sin{\theta} \dot{z} + \omega^2 z = 0

gdzie:

  • \Omega - częstość kołowa obrotu Ziemi wokół własnej osi,
  • \theta - szerokość geograficzna.

Częstość kołowa związana jest z czasem (T) obrotu Ziemi wokół własnej osi, czyli dobie gwiazdowej równaj 23 godziny 56 minut i 4 sekundy = 86164 sekund:

 \Omega = \frac {2 \pi} {T} =0{,}0000729 s^{-1}

Zakładając, że rozwiązania przyjmują postać z(t)=e^{rt}, zespolone r spełnia równanie kwadratowe: r^2+2i\Omega\sin(\theta)r + \omega^2=0 co można wyrazić jako: \left(r+i\Omega\sin(\theta)\right)^2- i^2\omega^2\left(1+\sin^2(\theta)\frac{\Omega^2}{\omega^2}\right)=0.

Przyjmując \omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}, powyższe równanie ma dwa rozwiązania: r=-i(\Omega\sin(\theta) \pm \omega_0). Ogólne rozwiązanie układu ma postać:

z(t)= e^{-i \Omega \sin{\theta} t} \left(c_1 e^{i\omega_0t} + c_2 e^{-i\omega_0t}\right)

gdzie:

  • c_1 i c_2 - dwie stałe zespolone, dobierane tak by rozwiązanie spełniało warunki na położenie i prędkość w chwili t = 0, prowadzą one do dwóch równań:
 \left \{ \begin{align} z(0) = & c_1 +c_2 \,,\\ \dot{z}(0) = &-i \left( \Omega\sin(\theta) z(0) - \omega_0 (c_1-c_2) \right). \end{align}\right.

Podstawiając wyrażenia określające stałe do równania, otrzymuje się:

 z(t) =e^{-i \Omega \sin{\theta} t} \left[z_0\left(\cos(\omega_0 t) +i \frac{\Omega \sin(\theta)}{\omega_0}\sin(\omega_0 t) \right) + \frac{\dot{z}_0}{\omega_0} \sin(\omega_0 t)\right]

Wyrażenie to jest iloczynem, w którym pierwszy czynnik zmienia się wolno (\Omega \sin{\theta} \ll \omega_0). Czynnik w nawiasie jest sumą szybkozmiennych funkcji trygonometrycznych (duże \omega_0. Składniki w nawiasie zawierają zarówno część rzeczywistą jak i urojoną, w ogólności są równaniem elipsy o parametrach zależnych od z_0, \dot{z}_0 i \Omega \sin(\theta) /\omega_0. Z czego wynika, że wahadło Foucaulta porusza się po elipsie z częstością ω0, obracającą się wolno w przestrzeni z częstością.

Zmiana płaszczyzny drgań zachodzi z częstością:

\omega_f= \Omega\sin(\theta)

Czas jednego obrotu płaszczyzny wahań wahadła wynosi:

T_f = \frac {2 \pi} {\Omega\sin(\theta)}= \frac T {\sin(\theta)}

Czas jednego pełnego obrotu wahadła w danym miejscu na Ziemi zwany jest dobą wahadła (pendulum day), jest on jednakowy dla wszystkich punktów leżących na tej samej szerokości geograficznej. Najkrótsza doba wahadła jest na biegunie i jest równa dobie gwiazdowej, na szerokości geograficznej 30° jest dwukrotnie większa i dąży do nieskończoności przy zbliżaniu się do równika.

Z zależności na ruch wahadła wynika, że każde wahadło mające swobodę zmiany płaszczyzny drgań poruszające się na Ziemi (poza równikiem) zmienia płaszczyznę drgań. Zmiana ta jest zależna jedynie od szerokości geograficznej, nie zależy od długości wahadła, jego amplitudy, masy itp. Jednak zależności zostały wyprowadzone z przyjęciem wielu uproszczeń, oznacza to że w rzeczywistości płaszczyzna drgań wahadła może zależeć od innych czynników, które z powodu przyjętych uproszczeń nie wystąpiły w końcowych zależnościach.

Szczególne przypadki ruchu wahadła[edytuj | edytuj kod]

Wahadło wypchnięte z położenia równowagi[edytuj | edytuj kod]

Najłatwiej rozważyć przypadek gdy wahadło w czasie t = 0, przechodzi przez położenie równowagi (z(0)=0, \dot{z}(0) = V_0) wówczas równanie ruchu wahadła upraszcza się do:

 z(t)= \frac{V_0}{\omega_0} e^{-i\Omega\sin(\theta)t }\sin(\omega_0 t)

Drugi czynnik (sinus) odpowiada za pulsację wahadła tak jak w wahadle matematycznym, wahadło cyklicznie powraca do stanu równowagi. Pierwszy czynnik odpowiada za obrót płaszczyzny drgań, ale wpływa też on kształt toru ruchu, który odchyla się płaszczyzny drgań wahadła matematycznego, przyjmując kształt rozety (patrz animacja powyżej). Ten rodzaj ruchu wydaje się najprostszą realizacją ruchu wahadła Foucaulta, ale jest on trudny do realizacji, gdyż nie ma prostego sposobu na wprawienie w ruch wahadła, tak by przeszło dokładnie przez położenie równowagi.

Wahadło wychylone i puszczone[edytuj | edytuj kod]

Wykres symulacji toru ruchu wahadła wychylonego i puszczonego. Długość wahadła 67 m, szerokość geograficzna 48°52′, wychylenie 6 m. Oś odchylenia skalowana w mm.

Innym sposobem uruchomienia wahadła, jest wychylenie go z położenia równowagi (z_0 \neq 0, \dot{z}_0=0) i swobodne puszczenie. Wówczas tor ruchu wahadła opisuje zależność:

 z(t)= z_0 e^{-i\Omega\sin(\theta)t} \left[ \cos(\omega_0t) + i \frac{\Omega\sin(\theta)}{\omega_0} \sin(\omega_0 t) \right]

W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, teraz wahadło nie przechodzi przez punkt równowagi, ale porusza się po elipsie, która powoli obraca się. Pomijając zmianę pierwszego czynnika w trakcie jednego wahnięcia wahadła, półosie elipsy określają wyrażenia:

 a = z_0
 b = z_0 \frac{\Omega\sin(\theta)}{\omega_0} \approx z_0 \Omega\sin(\theta) \sqrt {\frac l g }

Obserwator patrzący na wahadło poruszające się na półkuli północnej widzi, że mija ono punkt równowagi z prawej strony, na półkuli południowej z lewej.

Wahadło na Panteonie w Paryżu[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze zademonstrowane szerokiej publiczności wahadło uruchomiono w lutym 1851 roku w Panteonie w Paryżu, miało ono długość 67 m, okres drgań takiego wahadła wynosi 16,42 sekundy. Wahadło zostało wychylone o około 6 m z położenia równowagi przywiązane nicią podtrzymującą je, następnie przepalono nić. Płaszczyzna drgań wahadła umieszczonego na szerokości geograficznej Panteonu w Paryżu (48°52') obraca się w ciągu godziny o:

 - \Omega\sin(48^\circ52')\times\frac{{360^\circ}}{2\pi}\times3600=-11^\circ19' .

Elipsa wahadła o tych parametrach ma półosie:

  • duża - 6 m,
  • mała - 0,84 mm.

Poniższe animacje przedstawiają symulację drgań wahadła w Panteonie w Paryżu, czas animacji odpowiada 1/4 doby. W celu lepszego zobrazowania jego ruchu zmieniono parametry ruchu. Wahadło startuje wychylone 50 m na wschód z położenia równowagi, Ziemia obraca się tak jakby doba trwała 110 s. W środku animacji umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca.

Zaburzenia ruchu wahadła[edytuj | edytuj kod]

Na wahadło mogą wpływać czynniki zewnętrzne zaburzające pracę wahadła, wpływają też czynniki wewnętrzne, które zostały pominięte. Rozważane jest wiele czynników, wśród nich: asymetria wahadła, tłumienie, nieliniowość wahadła związana z amplitudą. Wpływ czynników można rozważać jako wpływ na parametry elipsy wahadła[5].

Zaburzenie może zmieniać prędkość obrotu płaszczyzny drgań w przestrzeni, które można wyrazić przez częstość kołową, która zmniejsza lub zwiększa częstość obrotu płaszczyzny drgań wywołanej obrotem zawieszenia wahadła. Oraz kształt elipsy, który można wyrazić przez stosunek osi elipsy:

\omega = \omega_f + \omega_z - częstość obrotu wahadła z zaburzeniem
\epsilon = \frac b a - definicja wydłużenia elipsy,

Precesja wahadła sferycznego[edytuj | edytuj kod]

Rozważanie wahadła Foucaulta jako wahadła matematycznego jest uproszczeniem. Układ zawieszenia wahadła musi zapewnić możliwość obrotu płaszczyzny drgań wahadła, przez co wahadło takie jest wahadłem sferycznym. Ruch wahadła sferycznego można przybliżyć elipsą. Elipsa ta obraca się (precesja Airy) z prędkością kątową[6]:

 \omega_{pr} = \frac {3 A} {4 l^2 T} = \frac 3 8 \frac {ab} {l^2} \omega_w = \frac 3 8 \frac {ab} {g^2} \omega_w^5 \,

gdzie:

  • a, b - półosie elipsy,
  • g - przyspieszenie ziemskie,
  • ωw - częstość kołowa wahadła.

Dla krótkiego, nawet precyzyjnie uruchomionego, wahadła precesja ta może przekroczyć precesję Foucolta.

Tłumienie precesji wahadła. Pierścień Charrona.[edytuj | edytuj kod]

Wahadło idealnie wychylone i puszczone w najdalszym punkcie wychylenia spoczywa względem powierzchni Ziemi. Wahadło zaburzone poruszające się po elipsie najdalszym od równowagi punkcie toru porusza się kierunku prostopadłym do płaszczyzny drgań. Tłumienie tego ruchu usunie ruch zaburzający obrót płaszczyzny wahań. Jedną z metod zwaną pierścieniem Charrona opracował w 1931 roku Fernand Charron. W pobliżu punktu zawieszenia (zazwyczaj) wahadła umieszcza się pierścień, przez który przechodzi drut na którym wisi wahadło. Średnicę pierścienia dobiera się tak by przy wychyleniu wahadła drut dotykał do pierścienia. Jeżeli wahadło ma prędkość poprzeczną, to drut przesuwa się względem pierścienia, a w wyniku tarcia tłumiona jest składowa poprzeczna prędkości ruchu wahadła. System jest prosty w wykonaniu i dobrze tłumi ruch poprzeczny wahadła.[7][8][9].

Wpływ amplitudy drgań[edytuj | edytuj kod]

Wzrost amplitudy drgań sprawia, tor zakrzywia się w kierunku pionowym, co zmniejsza składową poziomą prędkości, tym samym zmniejszając siłę Coriolisa, dodatkowo wahadło przestaje być harmoniczne, efekty te skutkują zmniejszeniem prędkości obrotu płaszczyzny drgań wahadła[5]. Dwa pierwsze wyrazy zależności częstości obrotu płaszczyzny drgań od amplitudy opisuje wzór: Wahadło w pobliżu powierzchni Ziemi obraca się z częstością:

 \omega_{fa} = \omega_f \left(1 - \frac 3 8 {\left(\frac a l\right)}^2\right)

gdzie:

  •  \omega_{fa} – częstość obrotu wahadła dla dużej amplitudy,
  •  \omega_f – częstość obrotu wahadła dla małej amplitudy,
  •  a – amplituda drgań wahadła,
  •  l – długość wahadła.
Wahadło w Palais de la découverte w Paryżu, poniżej cewka magnetyczna układu napędzajacego.

Warunki realizacji[edytuj | edytuj kod]

By zaobserwować zmianę płaszczyzny wahań wymagany jest długi czas wahań, dlatego należy zapewnić małe tłumienie i mały wpływ ruchu powietrza na wahadło, osiąga się to poprzez długie ramię wahadła (nawet kilkunastometrowe) duży ciężar wahadła – pozwala to na ruch bez wyraźnego wpływu tłumienia. Na ruch wahadła może wpłynąć asymetria wahadła jak i ruch powietrza w pomieszczeniu.

Tradycyjne wahadło działa bez napędu, uruchamiane jest i działa przez pewien czas. Wahadła pokazowe są napędzane, takie wahadła mogą być krótsze i mogą działać dowolnie długo. Stosuje się napęd elektromagnetyczny dolny działający na obciążnik wahadła, oraz górny działający w systemie zawieszenia wahadła[10]. W napędzie dolnym pod wahadłem umieszcza się cewkę. W prostym rozwiązaniu pierścień Charrona włącza cewkę gdy wahadło jest wychylone. Indukcyjność cewki sprawia, że po włączaniu prąd narasta wolno i płynie aż do rozłączania. W wyniku tego w czasie oddalania się wahadła od położenia równowagi jest ono słabiej przyciągane do położenia równowagi niż podczas powrotu wahadła. W innych rozwiązaniach pod wahadłem umieszcza się układ rozpoznający przejście wahadła przez położenie równowagi[11].

Wahadła Foucaulta na świecie[edytuj | edytuj kod]

Wahadła Foucaulta można spotkać w licznych miejscach na świecie (a zwłaszcza w USA). Ze względu na swoje spektakularne wymiary i imponujący wygląd umieszcza się je w miejscach ważnych dla nauki, kultury i polityki (takich jak uniwersytety, muzea, centra kongresowe). Poniższa tabela zawiera największe, najcięższe i najsłynniejsze z nich (w większości przypadków długość wahadeł L została zaokrąglona do pełnych metrów, a masa M do pełnych kilogramów):

Miejsce (nazwa oryginalna) Miejsce (nazwa polska) Kraj L (m) M (kg)
Oregon Convention Center in Portland Centrum Kongresowe w Portland USA 27 408
University of Colorado Uniwersytet Kolorado USA 40 300
Museum of Science and Industry, Chicago Muzeum Techniki i Przemysłu, Chicago USA 20 300
National Museum of American History, Washington, DC Muzeum Narodowe Historii Amerykańskiej, Waszyngton USA 21 105
Indiana State Museum Muzeum Stanowe w Indianie USA 26 96
United Nations, New York, N.Y. Siedziba ONZ, Nowy Jork USA 23 91
Pantheon, Paris Panteon w Paryżu Francja 67 28
SS. Papalis Basilica Vaticana Bazylika św. Piotra Watykan
Technisches Museum Wien Muzeum Techniczne w Wiedniu Austria
Museo de las Ciencias Príncipe Felipe Muzeum Nauki w Walencji Hiszpania 30 170
Deutsches Museum, Monachium Muzeum Niemieckie, Monachium Niemcy

Wahadła Foucaulta w Polsce[edytuj | edytuj kod]

Wahadło Foucaulta w wieży Zamku Książąt Pomorskich w Szczecinie.

O tym, że Ziemia obraca się wokół swojej osi, możemy się przekonać także w Polsce. W Krakowie, co czwartek odbywają się demonstracje najdłuższego w Polsce wahadła w Kościele św. św. Piotra i Pawła.

Miejsce Miasto L (m) M (kg)
Kościół św. Piotra i Pawła Kraków 46,5 25
Centrum Nowoczesności Młyn Wiedzy[12] Toruń 33,5 35
Wieża Radziejowskiego – dawna dzwonnica Frombork 28,5 46
Wieża Dzwonów na Zamku Książąt Pomorskich Szczecin 28,5 76
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Uniwersytetu Jana Kochanowskiego Kielce 27
Dziedziniec Politechniki Gdańskiej Gdańsk 26 64
Centrum Nauki Kopernik Warszawa 16 242
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Mikołaja Kopernika[13] Toruń 16 29
Wydział Fizyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza Poznań 10 52
Planetarium Śląskie Chorzów

Na podstawie znajomości położenia miejsca umocowania wahadła można za pomocą wzoru wyznaczyć częstość oraz okres pozornego obrotu płaszczyzny drgań. Przykładowe dane zostały zamieszczone w tabeli.

Miasta φ[°]  \omega_w [°/h] T [h]
Gdańsk, Frombork ok. 54°N 12°08' 29:40
Warszawa, Poznań ok. 52°N 11°49' 30:27
Kraków ok. 50°N 11°29' 31:20

W 2013 roku Wahadło Foucaulta zamontowano w Centrum Nowoczesności Młyn Wiedzy w Toruniu. Jest ono przewieszone przez wszystkie osiem kondygnacji budynku i będzie miało długość ok. 34 m[14]. Według zamierzeń inwestora miało ono być najdłuższym stale działającym wahadłem Foucaulta w Polsce; dłuższe odeń wahadło w krakowskim kościele św. Piotra i Pawła uruchamiane jest tylko raz w tygodniu, we czwartki[15].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Wahadło z momentem pędu będzie względem gwiazd poruszało się po elipsie, zawieszenie nie będzie wpływało na położenie osi wielkiej elipsy. Jednak elipsa będzie zmieniała położenie w przestrzeni w wyniku precesji Airy.
  2. Amir D. Aczel: Leon Foucault and the Triumph of Science. New York: ATRIA BOOKS, 2003. ISBN 0-7434-6478-8.
  3. Jan. 7, 1851: Foucault Gets the Swing of Things. [dostęp 2013-06-12].
  4. Michael Conlin: The popular and Scientific Reception of the Foucault Pendulum in the United States. The University of Chicago Press, styczeń 1999. [dostęp 2013-06-12]. s. 181-204.
  5. 5,0 5,1 A. B. Pippard: The parametrically maintained Foucault pendulum and its perturbations. W: Cavendish Laboratory, Department of Physics, Madingley Road, Cambridge CB3 OHE, U.K [on-line]. 19 kwietnia 1988. [dostęp 2013-06-13].
  6. Richard Crane. Short Foucault pendulum. „Physics Departament. Universytety of Michigan”, 20.05.1981. |data dostępu = 2013-0608
  7. Clock and Foucault pendulum. [dostęp 2013-06-20].
  8. Wahadło. [dostęp 2013-06-20].
  9. Wahadło. [dostęp 2013-06-20].
  10. Foucault pendulum. [dostęp 2013-06-20].
  11. The Foucault Pendulum. [dostęp 2013-06-20].
  12. Wahadło Foucaulta w Młynach. www.torun.pl. [dostęp 2013-05-29].
  13. Wahadło Foucaulta (pol.). Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK. [dostęp 2013-06-02].
  14. Szczegółowy Opis Przedmiotu Zamówienia - EKSPOZYCJA „WAHADŁO FOUCAULT” (pol.). [dostęp 2012-07-26]. s. 5, 14, 15.
  15. Parafia Wszystkich Świętych w Krakowie. [dostęp 2012-07-26].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Wikimedia Commons