Wahanie funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wahaniem funkcji f:[a,b]\to\mathbb{R} na przedziale [a,b] nazywamy wielkość

 V^a_b(f)=\sup \sum_{i=0}^{n-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |. \,

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach  P=\{ a=x_0< \dots< x_{n}=b\} przedziału [a,b]. Jeśli funkcja f:[a,b]\to\mathbb{R} ma skończone wahanie, to mówimy, że f jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja f:[a,b]\to\mathbb{R} jest monotoniczna, to  V^a_b(f)=\vert f(b)-f(a)\vert.

Jeśli f jest funkcją charakterystyczną zbioru \mathbb Q\cap[0,1] wszystkich liczb wymiernych z przedziału [0,1], to V_0^1(f)=\infty.

Niech f:[0,1]\to\mathbb R będzie dana wzorem f(x)=x\sin(\pi/x) dla x\in(0,1] i f(0)=0. Wówczas f jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja f:[0,1]\to\mathbb R dana wzorem f(x)=x^2\sin(\pi/x) dla x\in(0,1] i f(0)=0 ma wahanie skonczone.