Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego endomorfizmu; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje

Niech $\scriptstyle X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $\scriptstyle K,$ zaś $\scriptstyle \mathrm T$ oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora $\scriptstyle x$ przestrzeni spełniony jest warunek

$\mathrm Tx = \lambda x,$

gdzie $\scriptstyle \lambda$ jest pewnym skalarem, to $\scriptstyle x$ nazywa się wektorem własnym, a $\scriptstyle \lambda$ nazywa się wartością własną przekształcenia $\scriptstyle \mathrm T.$

Danej wartości własnej $\scriptstyle \lambda$ operatora $\scriptstyle \mathrm T$ odpowiada zbiór

$X_\lambda(T) = \{x\in X\colon Tx = \lambda x\}$

nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej $\scriptstyle \lambda,$ gdyż tworzy on domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni $\scriptstyle X.$ Jej wymiar nazywa się wielokrotnością wartości własnej $\lambda.$

Często zakłada się, że $\scriptstyle K$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolona, zaś na $\scriptstyle X$ określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że $\scriptstyle X$ jest pewną przestrzenią Banacha, a $\scriptstyle \mathrm T\colon X\to X$ jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności

• Jeżeli $\scriptstyle \mathrm T$ jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta $\scriptstyle X,$ to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
• Jeżeli $\scriptstyle \lambda \in K$ jest wartością własną operatora $\scriptstyle \mathrm T,$ to $\scriptstyle |\lambda|\leqslant \|\mathrm T\|$ (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
• Liczba $\scriptstyle \lambda \in K$ jest wartością własną operatora $\scriptstyle \mathrm T$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $\scriptstyle \mathrm T_\lambda = \lambda I-T$ nie jest różnowartościowy.
• Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
• Jeśli macierz $\scriptstyle \mathbf A$ potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej $\scriptstyle V,$ to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
• Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi $\scriptstyle V,$ to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie skończeniewymiarowe

Przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm A$ skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi $\scriptstyle \mathrm A$ na skończeniewymiarowej przestrzeni $\scriptstyle X$ odpowiada macierz kwadratowa $\scriptstyle \mathbf A$, a jej wartości własne są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego

$w_\mathbf A(\lambda) = \det(\mathbf A - \lambda \mathbf I),$

gdzie $\scriptstyle \mathbf I$ jest macierzą jednostkową.

Mając do dyspozycji wartości własne $\scriptstyle \lambda_1, \dots, \lambda_n$ można obliczyć odpowiadające im wektory własne $\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n$ rozwiązując równania postaci

$(\mathbf A - \lambda_i \mathbf I) \cdot \mathbf x_i = 0$

ze względu na wektory $\scriptstyle \mathbf x_i.$

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz $\scriptstyle \mathbf A$ jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma

Niech $\scriptstyle X = L^2(a,b)$ będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue'a na przedziale $\scriptstyle (a, b)$ oraz niech $\scriptstyle K(s, t)$ będzie będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

$Q = (a,b) \times (a,b)$.

Można wykazać, że odwzorowanie $\scriptstyle \mathrm T\colon X\to X,$ dane wzorem

$(Tx)(s) = \int\limits_a^bK(s,t)x(t)dt$

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy $\scriptstyle K(s, t) = \overline{K(t, s)}$, to $\scriptstyle \mathrm T$ jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też

• równanie własne
• diagonalizacja
• wartość własna układu

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.