Warunek Lindeberga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Powiemy, że schemat serii (X_{n,k_n}) spełnia warunek Lindeberga, jeśli dla każdego \epsilon > 0 zachodzi L_n(\epsilon) = \frac{1}{s^2_n} \sum_{k=1}^{k_n} E ((X_{n,k}-EX_{n,k})^2 \mathbf 1_{\{|X_{n,k}-EX_{n,k}|>\epsilon s_n\}}) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0, gdzie s^2_n = \sum_{k=1}^{k_n} D^2X_{n,k}.

Konsekwencje[edytuj | edytuj kod]

Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, to (\max_{1 \leqslant k \leqslant k_n} \sigma_{n,k}) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0, gdzie \sigma_{n,k} = \sqrt{\frac{D^2X_{n,k}}{s^2_n}}.

Dowód

Dowodzimy przez zaprzeczenie. Załóżmy, że \exists \delta_0 > 0 taka, że \limsup_{n \to \infty}(\max_{1 \leqslant k \leqslant k_n} \sigma_{n,k}) = \delta_0.

Wówczas istnieje ciąg (a_n) liczb naturalnych spełniający:

Dla \delta = \frac{\delta_0}{2} > 0 \; \forall n \in \mathbf N \; \exists k \; : \Bigg( \sigma_{a_n,k} \geqslant \delta \iff \sqrt{\frac{D^2X_{a_n,k}}{s^2_{a_n}}}\geqslant \delta \iff D^2X_{a_n,k} \geqslant \delta^2s_{a_n}^2 \Bigg).

Ostatnią nierówność możemy zapisać jako:

D^2X_{a_n,k} = E(X_{a_n,k} - EX_{a_n,k})^2 = E(X_{a_n,k} - EX_{a_n,k})^2 \mathbf 1_{\{|X_{a_n,k} - EX_{a_n,k}| > \epsilon s_{a_n}\}} + E(X_{a_n,k} - EX_{a_n,k})^2 \mathbf 1_{\{|X_{a_n,k} - EX_{a_n,k}| \leqslant \epsilon s_{a_n}\}} \geqslant \delta^2s_{a_n}^2 dla każdego \epsilon > 0.

Teraz z ostatniej nierówności otrzymujemy:

E(X_{a_n,k} - EX_{a_n,k})^2 \mathbf 1_{\{|X_{a_n,k} - EX_{a_n,k}| > \epsilon s_{a_n}\}} \geqslant \delta^2 s_{a_n}^2 - E(X_{a_n,k} - EX_{a_n,k})^2 \mathbf 1_{\{|X_{a_n,k} - EX_{a_n,k}| \leqslant \epsilon s_{a_n}\}} \geqslant \delta^2s_{a_n}^2 - \epsilon^2 s_{a_n}^2.

Zatem:

L_{a_n}(\epsilon) \geqslant \frac{1}{s^2_{a_n}}E(X_{a_n,k} - EX_{a_n,k})^2 \mathbf 1_{\{|X_{a_n,k} - EX_{a_n,k}| > \epsilon s_{a_n}\}} \geqslant \delta^2 - \epsilon^2. Ale dla \epsilon < \delta ostatnia wartość jest zawsze dodatnia, niezależnie od n, co przeczy warunkowi Lindeberga.