Warunek Lipschitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\varrho), (Y, \sigma) będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że f \colon X \longrightarrow Y spełnia warunek Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała L>0, że dla dowolnych x_1, x_2\in X

\sigma(f(x_1), f(x_2))\leqslant L\cdot\varrho(x_1, x_2)

Najmniejszą wartość L (o ile istnieje) dla której nierówność jest prawdziwa nazywamy stałą Lipschitza.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Dla X=Y=\mathbb{R}, \varrho=\sigma=|\cdot|
    • f(x)=\sqrt{x^2+5} spełnia warunek Lipschitza, L=1
    • f(x)=x^2, X=[a, b], spełnia w.L., L=2|b| dla |b|\geqslant|a|, L=2|a| dla |a|\geqslant|b|
    • f(x)=|x| jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą w.L., L=1
    • f(x)=x^2, X=\mathbb{R}, nie spełnia w.L.

Jeżeli L < 1, to funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest kontrakcją.

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza[edytuj | edytuj kod]