Warunkowa wartość oczekiwana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Warunkowa wartość oczekiwana to podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Niech (\Omega, \mathcal{F}, P) będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym P_{\boldsymbol{A} }. Niech również X \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P) będzie zmienną losową,

gdzie L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P):=\{X:\Omega \rightarrow \mathbb R: X jest mierzalna \ \and \ \mathbb  E|X| < +\infty\}.


\bold A \in \mathcal{F} jest zdarzeniem takim, że \bold P(A)>0.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

  • Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

\mathbb E(X|A)=\int\limits_\Omega X(\omega)d\mathbb P_A

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

\mathbb E(X|A)=\frac{1}{P(A)}\int\limits_A X(\omega)d\mathbb P


  • Niech \mathcal G będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała \mathcal G nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:


1) \quad \mathbb E(X|\mathcal G) jest \color{blue} \mathcal G-mierzalna,

2) \quad \int\limits_A E(X|\mathcal G)d\mathbb P=\int\limits_A Xd\mathbb P,\quad dla dowolnego \ A\in \mathcal G .


Dla dowolnego σ-ciała \mathcal G \subseteq \mathcal F i zmiennej losowej całkowalnej X \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P) istnieje \mathbb E(X|\mathcal G) i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.


  • Szczególny przypadek poprzedniego.


Niech \Omega = \bigcup_{i\in I}A_i, gdzie A_i \cap A_j = \empty, i\neq j, i niech \mathcal G = \sigma(\{ A_i: i\in I\} ). Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała \mathcal G jest równa:


\mathbb E(X|\mathcal G) = \sum_{i\in I}\mathbb E(X|A_i)\cdot \color{blue}\mathbf{1}_{A_i}


Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech X, Y \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P) i niech \mathcal G \subseteq \mathcal F będzie σ-ciałem. Wówczas:



  • X \leq Y\  \Rightarrow \ \mathbb E(X|\mathcal G) \leq \mathbb E(Y|\mathcal G),


  • a, b \in \mathbb R\ \Rightarrow \ \mathbb E(aX + bY|\mathcal G)=a\mathbb E(X|\mathcal G) + b\mathbb E(Y|\mathcal G),


  • |\ \mathbb E(X|\mathcal G)\ | \ \leq \  \mathbb E(\ |X|\ |\mathcal G),


  • Dla dowolnego \mathcal H \subseteq \mathcal G mamy:

\mathbb E(X|\mathcal H) = \mathbb E \bigg( \mathbb E(X|\mathcal H)\ \bigg| \ \mathcal G \bigg) = \mathbb E \bigg( \mathbb E(X|\mathcal G)\ \bigg| \ \mathcal H \bigg),


  •  X_n \rightarrow X \ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb E(X_n|\mathcal G) \rightarrow \mathbb E(X|\mathcal G),


  • \mathbb E\bigg( \mathbb E(X|\mathcal G) \bigg)\ =\ \mathbb EX,


  • Jeśli X jest niezależna od \mathcal G (tzn. σ(X) i \mathcal G są niezależne), to:


\mathbb E(X|\mathcal G) = \mathbb EX,


  • Jeśli Y jest ograniczoną zmienną \mathcal G-mierzalną, to:


\mathbb E(YX|\mathcal G) = Y\mathbb E(X|\mathcal G).


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]