Wektor zerowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, \scriptstyle 0, często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem \scriptstyle \mathbf 0, czy strzałką \scriptstyle \vec 0. Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.

W dalszej części artykułu pierwszy symbol będzie oznaczał element neutralny dodawania w ciele (skalar zerowy), drugi – w przestrzeni liniowej (wektor zerowy).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń liniową można scharakteryzować jako grupę abelową (tzn. grupę z działaniem przemiennym) ze zgodnym z nim działaniem mnożenia przez skalar; element neutralny działania definiuje się jako taki wektor \scriptstyle \mathbf 0, który dla każdego elementu \scriptstyle \mathbf x tej przestrzeni spełnia

\mathbf{x + 0} = \mathbf{0 + x} = \mathbf x,

przy czym w grupie element ten jest wyznaczony jednoznacznie i służy zdefiniowaniu wektora przeciwnego do danego (jako wektora, który w sumie z danym daje wektor zerowy). Zgodnie z aksjomatami przestrzeni liniowej dla dowolnego wektora \scriptstyle \mathbf x oraz skalara (elementu z ciała) \scriptstyle a zachodzą tożsamości:

0 \mathbf x = \mathbf 0

oraz

a \mathbf 0 = \mathbf 0.

Z pierwszej z nich na mocy zasady indukcji dla dowolnego układu wektorów \scriptstyle \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n można uzyskać, iż

a_1 \mathbf x_1 + \dots + a_n \mathbf x_n = \mathbf 0

o ile tylko \scriptstyle a_1 = \dots = a_n = 0; z drugiej jednak strony, jeśli jest to jedyny układ skalarów o tej własności, to układ \scriptstyle \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n nazywa się niezależnym (w przeciwnym przypadku mówi się, że jest zależny). Druga tożsamość mówi więc, że układ złożony z wektora zerowego jest zależny. Ponieważ dowolny układ zawierający podukład zależny jest zależny, to wynika stąd, że każdy układ zawierający wektor zerowy jest zależny.

Dodatkowe struktury[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach współrzędnych (przestrzenie liniowe z wybraną bazą uporządkowaną) wektor zerowy to wektor o wszystkich składowych równych zeru, czyli \scriptstyle (0, \dots, 0). W przestrzeniach afinicznych wektor zerowy wyznaczany jest przez dowolny punkt \scriptstyle \mathrm p tej przestrzeni jako \scriptstyle \mathrm p - \mathrm p = \overrightarrow\mathrm{pp}. W przestrzeni liniowej z normą jedynym wektorem o normie równej zero jest wektor zerowy. W przestrzeniach liniowych z półnormą wektorem zerowym nazywa się dowolny wektor o zerowej półnormie; w przestrzeni Minkowskiego dla odróżnienia od jedynego wektora o wszystkich współrzędnych zerowych wektor o zerowej normie Minkowskiego nazywa się też wektorem światłopodobnym. W przestrzeniach unitarnych (tzn. przestrzeniach liniowych z iloczynem skalarnym) zachodzi \scriptstyle \langle \mathbf 0, \mathbf x \rangle = \langle \mathbf x,\mathbf 0 \rangle = 0, skąd również \scriptstyle 0\langle \mathbf \mathbf x, \mathbf y \rangle = 0 dla dowolnych wektorów \scriptstyle \mathbf x, \mathbf y.