Pierścień Witta

W teorii pierścieni, wektory Witta są nieskończonymi ciągami elementów pierścienia przemiennego. Ernst Witt pokazał jak przekształcić strukturę pierścienia w zbiór wektorów w taki sposób, że pierścień wektorów nad skończonym ciałem o charakterystyce $p$ jest pierścieniem liczb p-adycznych.

Konstrukcja

Weźmy liczbę pierwszą $p$. Wektor Witta nad pierścieniem przemiennym $R$ jest ciągiem $(X_0,X_1,X_2,\dots)$ elementów $R$.

Zdefiniujmy wielomiany Witta $W_i$ w następujący sposób:

$W_0=X_0\,$

$W_1=X_0^p+pX_1$

$W_2=X_0^{p^2}+pX_1^p+p^2X_2$

i ogólnie

$W_n=\sum_ip^iX_i^{p^{n-i}}.$

Następnie Witt pokazał, że istnieje metoda przekształcenia dowolnego przemiennego pierścienia R w tzw. pierścień wektorów Witta, taki że:

• suma i iloczyn są dane przez wielomiany ze współczynnikami, które nie zależą od $R$,
• każdy wielomian Witta jest homomorfizmem z pierścienia wektorów Witta nad $R$ w $R$.

Pierwsze kilka wielomianów określających sumę i iloczyn wektorów Witta zostało podane poniżej:

(X₀, X₁,...) + (Y₀, Y₁,...) = (X₀+Y₀, X₁ + Y₁ + (X₀^p + Y₀^p − (X₀ + Y₀)^p)/p, ...)

(X₀, X₁,...) × (Y₀, Y₁,...) = (X₀Y₀, X₀^pY₁ + Y₀^pX₁ + p X₁Y₁, ...)