Pierścień Witta

Pierścień Witta – pierścień o strukturze przekształconej w zbiór wektorów w taki sposób, że pierścień wektorów nad skończonym ciałem o charakterystyce $p$ jest pierścieniem liczb p-adycznych. Nazwa pochodzi od Ernsta Witta, który jako pierwszy dokonał takiego przekształcenia.

Konstrukcja

Weźmy liczbę pierwszą $p.$ Wektor Witta nad pierścieniem przemiennym $R$ jest ciągiem $(X_{0},X_{1},X_{2},\dots )$ elementów $R.$

Zdefiniujmy wielomiany Witta $W_{i}$ w następujący sposób:

$W_{0}=X_{0}$

$W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}$

$W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}$

i ogólnie

$W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.$

Następnie Witt pokazał, że istnieje metoda przekształcenia dowolnego przemiennego pierścienia R w tzw. pierścień wektorów Witta, taki że:

• suma i iloczyn są dane przez wielomiany ze współczynnikami, które nie zależą od $R,$
• każdy wielomian Witta jest homomorfizmem z pierścienia wektorów Witta nad $R$ w $R.$

Pierwsze kilka wielomianów określających sumę i iloczyn wektorów Witta zostało podane poniżej:

$(X_{0},X_{1},\dots )+(Y_{0},Y_{1},\dots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}+(X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}-(X_{0}+Y_{0})^{p})/p,\dots ),$

$(X_{0},X_{1},\dots )\times (Y_{0},Y_{1},\dots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+Y_{0}^{p}X_{1}+pX_{1}Y_{1},\dots ).$