Wiązka wektorowa

Wiązka wektorowa jest pojęciem matematycznym, dotyczącym topologii. Wiązka wektorowa to przestrzeń topologiczna z dołączoną przestrzenią wektorową w każdym punkcie w taki sposób, że całość tworzy także przestrzeń topologiczną.

Wiązkę wektorową można rozważać również nad rozmaitością różniczkową. Wtedy wymaga się by była ona rozmaitością różniczkową (a nie tylko przestrzenią topologiczną).

Definicja

$(E, M, \pi)\,$ jest wiązką wektorową nad rozmaitością różniczkową $M$ jeśli:

1. $E$ jest rozmaitością różniczkową,
2. $\pi: E \to M$ jest ciągłą suriekcją (zwaną kanoniczną projekcją),
3. każde włókno $E_p = \pi^{-1}(p)\,$ ma strukturę przestrzeni liniowej nad $\mathbb{R}$,
4. dla każdego punktu rozmaitości $M$ istnieją jego otoczenie $U \subset M$ oraz liczba naturalna $n$, takie że $\pi^{-1}(U)\,$ jest dyfeomorficzny z $U \times\mathbb{R}^n$ za pomocą dyfeomorfizmu $\Phi_U : U \times\mathbb{R}^n \to \pi^{-1}(U)$, takiego że $\pi \circ \Phi_U$ jest rzutowaniem na pierwszą współrzędną w iloczynie kartezjańskim $U \times\mathbb{R}^n$ .

Przykłady

• Wiązka styczna i wiązka kostyczna są przykładami wiązki wektorowej.
• Iloczyn kartezjański $\mathbb{R}^n \times M$ z naturalną projekcją i naturalną strukturą różniczkową jest wiązką wektorową zwaną trywialną wiązką wektorową.

Bibliografia

1. Wojciech Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.