Widmo (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Widmo (elementu algebry) - dla danego elementu a (zwykle zespolonej) algebry z jedynką A, zbiór

\sigma_A(a)=\{\lambda\in \mathbb{C}\colon \lambda e_A-a\notin\mbox{GL}(A)\},

przy czym GL(A) oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze A oraz eA jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki. Widmo oznacza się również symbolem σ(a), jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha E, traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na E. Definicja widma ma również sens dla nieograniczonych operatorów domykalnych (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Widmo każdego elementu dowolnej zespolonej algebry Banacha jest niepustym i zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
  • Algebra Banacha jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ma skończone widmo[1].
  • Zachodzi następujący wzór Gelfanda (poniżej, νA(a) oznacza promień spektralny elementu a danej algebry Banacha A):
\nu_A(a) = \max\{|\lambda|\colon \lambda\in\sigma_A(a)\}.
  • Dla każdego zwartego podzbioru płaszczyzny zespolonej istnieje operator ograniczony na przestrzeni Hilberta, którego jest on widmem. Istnieją przestrzenie Banacha dla których podobne stwierdzenie jest fałszywe.

Przypisy

  1. I. Kaplansky, Ring isomorphisms of Banach algebras. Canad. J. Math., 6 (1954), 374–381.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Zobacz hasło widmo w Wikisłowniku