Widmo (matematyka)

Widmo operatora, w analizie funkcjonalnej, uogólnienie pojęcia widma macierzy (inaczej mówiąc, widma pewnego endomorfizmu skończenie wymiarowej przestrzeni współrzędnych) na dowolne ciągłe i operatory liniowe w przestrzeni Banacha.

Definicja

Ustalmy przestrzeń Banacha X nad ciałem $\mathbb{K}$ (liczb rzeczywistych lub zespolonych) oraz operator liniowy $T\colon X\to X$.
Zbiór σ(T) określony wzorem:

$\sigma(T)=\mathbb{K}\setminus \{\lambda\in\mathbb{K}\colon \lambda I-T \in \operatorname{Isom} X\}$

nazywamy widmem (spectrum) operatora T, gdzie I jest operatorem identycznościowym, a $\operatorname{Isom} X$ oznacza ogół izomorfizmów przestrzeni X na siebie.

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora T oznamy przez σ_p(T) i nazywamy widmem punktowym operatora. Widmo punktowe jest podzbiorem widma: $\sigma _p (T) \subset \sigma (T)$.

Własności

• Widmo operatora T jest podzbiorem zwartym zbioru

$\{\lambda\in\mathbb{K}\colon |\lambda |\leqslant \|T\|\}$.

• Jeśli $T\in\operatorname{Isom} X$, to

σ(T ^{− 1}) = σ(T) ^{− 1},

co rozumiemy w takim sensie, że jeżeli $C\subset\mathbb{K}\setminus\{0\}$, to $C^{-1}=\left\{\frac{1}{\alpha}\colon \alpha \in C\right\}$.

• Jeśli $X\neq 0$ jest niezdegenerowaną przestrzenią zespoloną, to $\sigma(T)\neq \varnothing$.

Zobacz też

• promień spektralny
• twierdzenie spektralne
• degeneracja widma