Widmowa gęstość mocy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Widmowa gęstość mocy - w przetwarzaniu sygnałów i fizyce gęstość widmowa, gęstość widmowa mocy, gęstość widmowa energii - to funkcja częstotliwości, określona na zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych, związana ze stacjonarnym procesem stochastycznym lub deterministyczna funkcja czasu, której wymiary to moc na Hz, lub energia na Hz. Często nazywana po prostu widmem sygnału.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Poglądowo rzecz ujmując gęstość widmowa przedstawia zawartość częstotliwości w procesie stochastycznym i pozwala na identyfikację występujących w nim okresowości.

Innymi słowy stacjonarny proces stochastyczny można charakteryzować przez gęstość widmową S_X(\omega)\, procesu stochastycznego X(t)\,, która reprezentuje moc sygnału przy poszczególnych pulsacjach. Każdy proces losowy X(t)\, w dziedzinie czasu odpowiada jednoznacznie funkcji losowej zwanej widmem częstotliwości, którą należy rozumieć jako zbiór widm (rozkład harmoniczny lub rozkład normalny amplitud) realizacji procesu[1].

Widmowa gęstość energii[edytuj | edytuj kod]

Widmowa gęstość energii opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy energii (wariancji) sygnału lub szeregu czasowego. Jeśli f(t)\, jest sygnałem o skończonej energii, całkowalnym z kwadratem to widmowa gęstość \Phi(\omega)\, sygnału jest kwadratem modułu ciągłej transformaty Fouriera tego sygnału:

\Phi(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right|^2 = \frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}

gdzie \omega\, to pulsacja (2\pi\, razy częstotliwość), F(\omega)\, to ciągła transformata Fouriera funkcji f(t)\, oraz F^*(\omega)\, jest jej sprzężeniem zespolonym.

Jeśli sygnał ma charakter dyskretny z wartościami f_n\, nad nieskończoną liczbą elementów to widmowa gęstość energii dana jest wzorem:

\Phi(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^\infty f_n e^{-i\omega n}\right|^2=\frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}

gdzie F(\omega)\, jest dyskretną transformatą Fouriera f_n\,.

Widmowa gęstość mocy[edytuj | edytuj kod]

Alternatywę do powyższego stanowi widmowa gęstość mocy, która opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy mocy sygnału lub szeregu czasowego. Moc może tu być faktyczną mocą fizyczną ale dużo częściej definiuje się ją abstrakcyjnie dla sygnałów jako kwadrat wartości sygnału. Taka moc (średnia lub wartość oczekiwana, która jest średnią mocy) dana jest dla sygnału s(t)\, jako:

 P(t) = s(t)^2\,

W takim przypadku nie istnieje transformata Fouriera jako, że sygnał z niezerową mocą średnią nie jest całkowalny z kwadratem. Jednakże twierdzenie Chinczyna-Wienera daje prostą alternatywę. Jeśli sygnał może być potraktowany jako losowy proces stacjonarny w szerszym sensie to gęstość widmowa mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji R(\tau)\, tego sygnału. Co daje w rezultacie wzór:


S(f)=\int_{-\infty}^\infty \,R(\tau)\,e^{-2\,\pi\,i\,f\,\tau}\,d \tau=\mathcal{F}(R(\tau)).

Można wykazać, że gdy uśredniający czas przedziału T \to \infty \, to średnia zespołu statystycznego średniego periodogramu zmierza do widmowej gęstości mocy:

E\left[\frac{|\mathcal{F}(f_T(t))|^2}{T}\right] \to S(f)

Moc sygnału dla danego pasma częstotliwości można wyliczyć wykonując całkowanie widmowej gęstości mocy po dodatnich i ujemnych częstotliwościach:

P=\int_{F_1}^{F_2}\,S(f)\,d f + \int_{-F_2}^{-F_1}\,S(f)\,df.

Własności widmowej gęstości mocy[edytuj | edytuj kod]

Pomiędzy dwustronną (to jest określoną zarówno dla dodatnich, jak i ujemnych wartości \omega\,) gęstością widmową S_X(\omega)\, a funkcją korelacji K_X(\tau)\, zachodzą następujące związki:


S_X(\omega)=2\int_{0}^\infty K_X(\tau) \,\cos\omega\tau \,d\tau

K_X(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty S_X(\tau) \,\cos\omega\tau \,d\tau

Gęstość widmową S_X(\omega)\, stacjonarnego procesu stochastycznego X(t)\, jest funkcją parzystą pulsacji:

S_X(-\omega)=S_X(\omega)\,

Gęstość widmowa S_X(\omega)\, jest wielkością rzeczywistą. Znając gęstość widmową S_X(\omega)\, sygnału x(t)\,, można obliczyć średnią kwadratową wartość tego sygnału korzystając ze wzoru:


\bar{x^2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega) \,d\omega

Analogicznie do gęstości widmowej S_X(\omega)\, jednego procesu stochastycznego X(t)\, można wyznaczyć gęstość widmową S_{XY} (\omega)\, dwóch procesów stochastycznych X(t)\, i Y(t)\,. Wzajemna gęstość widmowa dwóch sygnałów niezależnych jest równa zero. Wzajemna gęstość widmowa S_{XY} (\omega)\, jest parzystą funkcją pulsacji tzn:

S_{XY}(\omega)=S_{YX}(-\omega)\,

Analiza widmowa stacjonarnych procesów stochastycznych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli gęstość widmowa sygnału wejściowego jest znana i wynosi S_U(\omega)\,, to gęstość widmowa sygnału wyjściowego S_Y(\omega)\, na wyjściu układu o transmitancji widmowej G(j\omega)\, określa zależność:

S_{Y}(\omega)=|G(j\omega)|^2 S_{U}(\omega)\,

Gęstość widmowa S_{UY}(j\omega)\, jest równa iloczynowi transmitancji widmowej G(j\omega)\, układu i gęstości widmowej S_U(\omega)\, wymuszenia U(t)\,

S_{UY}(j\omega)=G(j\omega) S_{U}(\omega)\,

Stacjonarny szum biały jest to proces stochastyczny, który ma stałą gęstość widmową (i zerową wartość oczekiwaną).

Przypisy

  1. Jerzy Brzózka: Regulatory i układy automatyki. Warszawa: Wydawnictwo Mikom, 2004, s. 35-38.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]