Wielościan dualny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Bryłą dualną względem sześcianu jest ośmiościan foremny.
Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Wielościan dualny W' do wielościanu W to wielościan skonstruowany w następujący sposób:

  • W środku masy każdej ściany W umieszczamy wierzchołek W'.
  • Jeśli dwie ściany W miały wspólną krawędź, ich środki łączymy krawędzią w W'.
  • Wypełniamy powstałe brzegi wielokątów ścianami, a ograniczoną przez nie przestrzeń wnętrzem wielościanu W'.
  • Powiększamy proporcjonalnie cały wielościan W' tak aby średnia odległość wierzchołków od jego środka masy była identyczna jak w przypadku W.


Wielościan W' :

  • ma tyle samo krawędzi co W;
  • tyle wierzchołków, ile W ma ścian;
  • tyle ścian, ile W miał wierzchołków.

Wielościan dualny do W' to ponownie wielościan W.


Przykłady:

Wielościan Wielościan dualny
Czworościan Czworościan
Czworościan foremny Czworościan foremny
Sześcian Ośmiościan foremny
Ośmiościan foremny Sześcian
Dwunastościan foremny Dwudziestościan foremny
Dwudziestościan foremny Dwunastościan foremny
Wielościany półforemne Wielościany Catalana
Sześcio-ośmiościan Dwunastościan rombowy
Dwunastościan rombowy Sześcio-ośmiościan

Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą.
Np. jeśli połączymy odpowiednio środki ścian dwunastościanu foremnego, to otrzymamy dwudziestościan foremny (lub, ściślej rzecz ujmując, "szkielet" dwudziestościanu foremnego, jego krawędzie). I odwrotnie - po połączeniu środków ścian dwudziestościanu foremnego, powstanie dwunastościan foremny. Podobną własność ma para - sześcian i ośmiościan foremny

Parę wielościanów dualnych stanowią również przykładowo sześcio-ośmiościan oraz dwunastościan rombowy.