Wielokąt Petriego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W geometrii wielokątem Petriego dla foremnego wielotopu n-wymiarowego nazywamy wielokąt skośny, którego każde kolejne (n – 1) boków (ale nie n) należy do pewnej komórki wielotopu. Wielokąt Petriego dla wielokąta foremnego to ten sam wielokąt foremny, natomiast wielokąt Petriego dla wielościanu foremnego to wielokąt skośny, którego każde kolejne 2 (ale nie 3) boki należą do pewnej ściany wielościanu. Dla każdego foremnego wielotopu istnieje jego rzut prostokątny na płaszczyznę, w którym wielokąt Petriego przechodzi na wielokąt foremny, a cała reszta jest zrzutowana do jego wnętrza. Wspominana płaszczyzna jest płaszczyzną Coxetera, będącą jedną z płaszczyzn symetrii wielotopu. Natomiast liczba ścian wielokąta (zwyczajowo oznaczana przez h) jest liczbą Coxetera z grupy Coxetera. Te wielokąty i ich rzuty są przydatne w wizualizacji struktur symetrii wielotopów z wyższych wymiarów.

Wielokąty Petriego dla wielościanów foremnych[edytuj | edytuj kod]

Dla wielokąta Petriego wielościanu foremnego o symbolu Schläfliego {p,q} mającego h ścian zachodzi wzór:

 cos^{2}\left(\frac{\pi}{h}\right) = cos^{2}\left(\frac{\pi}{p}\right) + cos^{2}\left(\frac{\pi}{q}\right)

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Niech wielościan {q,p} powstaje przez odwzajemnienie (ang. reciprocation) {p,q} względem jego sfery półwpisanej. Część wspólna wielościanów {p,q} i {q,p} razem z wnętrzem tworzy quasiforemny wielościan \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}, którego wierzchołkami są środki krawędzi zarówno {p,q} jak i {q,p}. Jego ściany są linkami (ang. vertex figures) wyjściowych wielościanów, czyli p-kątami foremnymi i q-kątami foremnymi. Z każdego wierzchołka wychodzą 4 krawędzie, dwie będące kolejnymi bokami p-kąta i dwie q-kąta. Zatem vertex figure \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} jest prostokątem. Przeciwległe wierzchołki tego prostokąta są środkami boków dwóch kolejnych boków h-kąta. Boki tego prostokąta mają długości  L \cdot cos\left(\frac{\pi}{p}\right) oraz  L \cdot cos\left(\frac{\pi}{q}\right) , gdzie L jest długością krawędzi wielościanów {p,q} i {q,p}. Przekątną prostokąta jest linkiem h-kąta, czyli odcinkiem o długości  L \cdot cos\left(\frac{\pi}{h}\right) . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

 L^{2}cos^{2}\left(\frac{\pi}{h}\right) = L^{2}cos^{2}\left(\frac{\pi}{p}\right) + L^{2}cos^{2}\left(\frac{\pi}{q}\right)

Inne wzory na ilość boków wielokąta Petriego wielościanu {p,q}

 h=\sqrt\frac{2(p+q)+7pq}{2(p+q)-pq}-1
 h=\sqrt{4N+1}-1

gdzie N to ilość krawędzi wielościanu

Petrie polygons.png
Wielokąty Petriego dwóch wielościanów dualnych są takie same. Wielokąty Petriego wielościanów foremnych: czworościanu to kwadrat, sześcianu i ośmiościanu to sześciokąt foremny, a dwunastościanu i dwudziestościanu to dziesięciokąt foremny.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Harold S. M. Coxeter, Regular Polytopes