Wielokąt Petriego

Wielokąt Petriego dla foremnego wielotopu $n$-wymiarowego – wielokąt skośny, którego każde kolejne $(n-1)$ boków (ale nie $n$) należy do pewnej komórki wielotopu. Wielokąt Petriego dla wielokąta foremnego to ten sam wielokąt foremny, natomiast wielokąt Petriego dla wielościanu foremnego to wielokąt skośny, którego każde kolejne 2 (ale nie 3) boki należą do pewnej ściany wielościanu.

Dla każdego foremnego wielotopu istnieje jego rzut prostokątny na płaszczyznę, w którym wielokąt Petriego przechodzi na wielokąt foremny, a cała reszta jest zrzutowana do jego wnętrza. Wspominana płaszczyzna jest płaszczyzną Coxetera, będącą jedną z płaszczyzn symetrii wielotopu. Natomiast liczba ścian wielokąta (zwyczajowo oznaczana przez $h$) jest liczbą Coxetera z grupy Coxetera. Te wielokąty i ich rzuty są przydatne w wizualizacji struktur symetrii wielotopów z wyższych wymiarów.

Wielokąty Petriego dla wielościanów foremnych

Dla wielokąta Petriego wielościanu foremnego o symbolu Schläfliego $\{p,q\}$ mającego $h$ ścian zachodzi wzór:

$\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{h}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)+\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right).$

Szkic dowodu

Niech wielościan $\{q,p\}$ powstaje przez odwzajemnienie (ang. reciprocation) $\{p,q\}$ względem jego sfery półwpisanej. Część wspólna wielościanów $\{p,q\}$ i $\{q,p\}$ razem z wnętrzem tworzy quasiforemny wielościan ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}},$ którego wierzchołkami są środki krawędzi zarówno $\{p,q\},$ jak i $\{q,p\}.$ Jego ściany są linkami (ang. vertex figures) wyjściowych wielościanów, czyli $p$-kątami foremnymi i $q$-kątami foremnymi. Z każdego wierzchołka wychodzą 4 krawędzie, dwie będące kolejnymi bokami $p$-kąta i dwie $q$-kąta. Zatem vertex figure ${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ jest prostokątem. Przeciwległe wierzchołki tego prostokąta są środkami boków dwóch kolejnych boków $h$-kąta. Boki tego prostokąta mają długości $L\cdot \cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)$ oraz $L\cdot \cos \left({\frac {\pi }{q}}\right),$ gdzie $L$ jest długością krawędzi wielościanów $\{p,q\}$ i $\{q,p\}.$ Przekątną prostokąta jest linkiem $h$-kąta, czyli odcinkiem o długości $L\cdot \cos \left({\frac {\pi }{h}}\right).$ Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$L^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{h}}\right)=L^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)+L^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right).$

Inne wzory na ilość boków wielokąta Petriego wielościanu $\{p,q\}$

$h={\sqrt {\frac {2(p+q)+7pq}{2(p+q)-pq}}}-1,$

$h={\sqrt {4N+1}}-1,$

gdzie $N$ – liczba krawędzi wielościanu.

Wielokąty Petriego dwóch wielościanów dualnych są takie same. Wielokąty Petriego wielościanów foremnych: czworościanu to kwadrat, sześcianu i ośmiościanu to sześciokąt foremny, a dwunastościanu i dwudziestościanu to dziesięciokąt foremny.

Bibliografia

• Harold S.M. Coxeter, Regular Polytopes.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Petrie Polygon, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).