Wielokąt foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wielokąt foremnywielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0^\circ\ . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2^k p_1 p_2 \ldots p_s, gdzie p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory[edytuj | edytuj kod]

  • n – liczba boków wielokąta foremnego;
  • a – długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

\gamma=\frac{\pi(n-2)}{n}\,\! = \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{csc}\frac{\pi}{n}

Wzór na promień koła wpisanego w wielokąt foremny:

r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}

Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:

a=2\sqrt{R^2-r^2}
a=2R \sin \frac{\pi}{n}
a=2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{n}

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

L=n \cdot a\,

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

S=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}={}
{}=\frac{nar}{2}={}
{}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}={}
{}=nR^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}={}
{}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}

Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},

gdzie k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,

Wielokąty foremne[edytuj | edytuj kod]

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa Grafika Liczba boków Miara kąta wewnętrznego Konstruowalny
cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny Cyclopropane-skeletal.png 3 60^\circ \ tak
Kwadrat Square - black simple.svg 4 90^\circ \ tak
Pięciokąt foremny Pentagon.svg 5 108^\circ \ tak
Sześciokąt foremny Hexagon.svg 6 120^\circ \ tak
Siedmiokąt foremny Heptagon.svg 7  {128\tfrac{4}{7}}^\circ \ nie
Ośmiokąt foremny Octagon.svg 8 135^\circ \ tak
Dziewięciokąt foremny Nonagon.svg 9  140^\circ \ nie
Dziesięciokąt foremny Decagon.svg 10 144^\circ \ tak

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]