Wielokąt foremny

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby $0^\circ\$. Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że $n\$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy $n\$ jest liczbą postaci $2^k p_1 p_2 \ldots p_s,$ gdzie $p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

• $n$ - liczba boków wielokąta foremnego;
• $a$ - długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

$\gamma=\pi-\frac{2\pi}{n}\,\! = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

$\beta=\frac{2\pi}{n}\,\!=\frac{360^\circ}{n}$

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

$R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}$

Wzór na promień koła wpisanego w wielokąt foremny:

$r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}$

Wzór na długość boku wielokąta foremnego przez promienie okręgów opisanego i wpisanego:

$a=2\sqrt{R^2-r^2}$

$a=2R \operatorname{sin} \frac{\pi}{n}$

$a=2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{n}$

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

$L=n \cdot a\,$

Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=nR^2\operatorname{sin}\frac{\pi}{n}\operatorname{cos}\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}\,\!$

Wzór na długość przekątnych wielokąta foremnego:

$d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},$

gdzie $k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,$

Wielokąty foremne

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Grafika	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego	Konstruowalny cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny		3	$60^\circ \$	tak
Kwadrat		4	$90^\circ \$	tak
Pięciokąt foremny		5	$108^\circ \$	tak
Sześciokąt foremny		6	$120^\circ \$	tak
Siedmiokąt foremny		7	$128,(571428)^\circ \$	nie
Ośmiokąt foremny		8	$135^\circ \$	tak
Dziewięciokąt foremny		9	$140^\circ \$	nie
Dziesięciokąt foremny		10	$144^\circ \$	tak

Zobacz też

• wzór Picka.