Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Definicje

• W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej $a,$ to każda liczba $b$ postaci $b=na,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej $r$ jako liczby rzeczywiste $s$ postaci $s=kr,$ gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
• W teorii podzielności, powiemy że element $b$ pierścienia całkowitego $R$ jest wielokrotnością elementu $a$ tegoż pierścienia, jeśli $b=ca$ dla pewnego $c\in R$ (zobacz Gleichgewicht). W tym kontekście, jeśli $b$ jest wielokrotnością $a$ (w pierścieniu $R$) to mówimy też, że $a$ jest dzielnikiem $b .$
• W teorii grup, wielokrotnościami elementu g w grupie $(G,+)$ nazywamy elementy postaci $n\cdot g=g+g+\ldots +g$ (n składników).

Przykłady

W matematyce elementarnej

• Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
• Liczby $\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby $\pi$. Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami $\pi$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych $({\mathbb R},+,0)$.

W teorii pierścieni

• 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
• W pierścieniu ${\mathbb C}[x]$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian $x^2+1$ jest wielokrotnością wielomianu $x+i$ (bowiem $x^2+1=(x+i)(x-i)$).
• Jeśli pierścień $R$ jest ciałem oraz $a\in R\setminus\{0\}$, to wszystkie elementy $R$ są wielokrotnościami $a$ w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup

• W grupie S₃, permutacja $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ jest wielokrotnością $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ bowiem

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

• W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w $({\mathbb Z}_{25},+)$, wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych $x$ i $y$ jest to taka liczba $z$, która jest wielokrotnością liczby $x$ i jest wielokrotnością liczby $y ,$ to znaczy istnieją takie liczby $k , l$ należące do zbioru liczb naturalnych, że $z=kx\;$ i $z=ly . \;$

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

$12 = 4\cdot 3 = 6\cdot 2,$

$24 = 4\cdot 6 = 6\cdot 4.$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też

• podwielokrotność