Wielomian charakterystyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

W algebrze liniowej każdej macierzy kwadratowej można przypisać jej wielomian charakterystyczny. Zawiera on informacje o niektórych własnościach tej macierzy, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku, i śladzie.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować tworząc wielomian którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości a, b, c, to wielomian charakterystyczny ma postać

(ta)(tb)(tc)...

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy A sytuacja wygląda następująco: jeśli λ jest wartością własną A, to istnieje wektor własny v0, taki że

A v = λv,

czyli

IA)v = 0

(gdzie I jest macierzą jednostkową). Ponieważ v jest niezerowy, oznacza to że macierz λIA jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu det(t IA) są wartościami własnymi A.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego ciała K (w szczególności mogą być to liczby rzeczywiste lub liczby zespolone) możemy rozważać macierze n×n nad tym ciałem. Wielomian charakterystyczny takiej macierzy A, oznaczany przez pA(t), definiuje się jako

pA(t) = det( t IA )

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy że chcemy obliczyć wielomian charakterystyczny macierzy

A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.

Obliczamy wyznacznik macierzy

t I-A = \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t
\end{pmatrix}

otrzymując:

(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!

Jest to wielomian charakterystyczny A.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Stopień wielomianu macierzy n×n wynosi zawsze n. Wyraz wolny tego wielomianu (pA(0)) jest równy (-1)n razy wyznacznik A. Współczynnik przy t n-1 jest równy minus tr(A). Dla macierzy 2×2 zachodzi zatem:

t 2 − tr(A)t + det(A).

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz 2k+1×2k+1 ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego A samą macierz A, otrzymamy macierz zerową: pA(A) = 0. A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy A musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę - macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz A jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad K.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]