Wielomian symetryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wielomian symetryczny. Wielomian n zmiennych  W(x_1, x_2,\ldots, x_n) nazywamy wielomianem symetrycznym, jeśli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymujemy wielomian równy wielomianowi  W(x_1, x_2, \ldots, x_n) .

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech W := W(x_1, x_2,\ldots, x_n) będzie dowolnym wielomianem n zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji \sigma zbioru n-elementowego:

\sigma=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n \\ x_{\sigma(1)} & x_{\sigma(2)} & x_{\sigma(3)} & \ldots & x_{\sigma(n)} \end{pmatrix}

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian W_\sigma := W_\sigma(x_1, x_2, \ldots, x_n) . Jeżeli:

W_\sigma = W\,

dla dowolnej permutacji \sigma, to W nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

S[x_1,\ldots,x_n]\,

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Definicja intuicyjna[edytuj | edytuj kod]

Mniej formalny opis: Wielomian n zmiennych  W(x_1, x_2, \ldots, x_n) jest symetryczny, jeżeli możemy dowolnie przestawiać jego zmienne x_1,x_2,\ldots,x_n, a otrzymany wielomian dla dowolnie wybranych x_1,x_2, \ldots,x_n będzie przyjmował takie same wartości jak wielomian W(x_1, x_2, \ldots, x_n) .

Przykłady wielomianów symetrycznych[edytuj | edytuj kod]

Następujące wielomiany są symetryczne:

W(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2

W(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1+x_2+x_3

Każdy jednomian postaci W(x_1,x_2,\ldots,x_n)=lx_1^kx_2^k\ldots x_n^k, gdzie k\in \mathbb{N}, l\in \mathbb{R} jest symetryczny.

Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian W nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian W_\sigma jest różny od wielomianu W (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

 W(x_1,x_2,x_3) := x_1^2x_2 + x_1x_3^2 + x_2^2x_3

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację \sigma=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_1 & x_3 \end{pmatrix}

Otrzymujemy wielomian

 W_\sigma(x_1,x_2,x_3)=x_2^2x_1 + x_2x_3^2 + x_1^2x_3 = x_1x_2^2 + x_1^2x_3 + x_2x_3^2.

Współczynnik przy x_1^2x_2 wynosi 1 dla W,  ale 0 dla W_\sigma.  Zatem W_\sigma \ne W,  więc wielomian W nie jest symetryczny.

Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe[edytuj | edytuj kod]

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi n zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci


\begin{align}
S_1(x_1,x_2, \ldots, x_n)&=\sum_{1 \leqslant i_1 \leqslant n}x_i\\
S_2(x_1,x_2, \ldots, x_n)&=\sum_{1 \leqslant i_1<i_2 \leqslant n}x_{i_1} x_{i_2}\\
S_3(x_1,x_2, \ldots, x_n)&=\sum_{1 \leqslant i_1<i_2<i_3 \leqslant n}x_{i_1} x_{i_2}x_{i_3}\\
S_4(x_1,x_2, \ldots, x_n)&=\sum_{1 \leqslant i_1<i_2<i_3<i_4 \leqslant n}x_{i_1} x_{i_2}x_{i_3}x_{i_4}\\
&\ldots\\
S_n(x_1,x_2, \ldots, x_n)&=\sum_{1 \leqslant i_1<i_2<\ldots<i_n \leqslant n}x_{i_1} x_{i_2}\ldots x_{i_n}
\end{align}

gdzie n\in \mathbb{N}.

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli W(x_1,x_2,\ldots,x_n) jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian V(x_1,x_2,\ldots,x_n) taki, że

W(x_1,x_2,\ldots,x_n)=V(S_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),S_2(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots,S_k(x_1,x_2,\ldots x_n)) .

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów S_1,S_2,\ldots,S_n można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formnalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie  Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)
V(S_1,\dots,S_n) \mapsto V(S_1(x_1,\dots,x_n),\dots,S_n(x_1,\dots,X_n))
jest izomorfizmem algebry wielomianowej K[S_1,\dots,S_n] na algebrę wielomianów symetrycznych S_K[X_1,\dots,X_n]  (gdzie K oznacza ciało współczynników).

Uwaga  Po lewej stronie powyższego przyporządkowania S_j jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych x_1,\dots,x_n.

Przykłady:

x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=S_1^2-2S_2,
5x_1x_2+5x_1x_3+5x_2x_3=5(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=5S_2,
x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3(x_1^2x_2+x_1x_2^2)=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=S_1^3-3S_2S_1.

Wielomiany symetryczne a Wzory Viète'a[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli wielomian a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1 x+ a_0   (gdzie a_n \ne 0)  ma n pierwiastków \xi_1,\dots,\xi_n , to zachodzą wzory Viète'a:


\begin{align}
S_1(\xi_1\dots,\xi_n)&= -\tfrac{a_{n-1}}{a_n}\\
S_2(\xi_1\dots,\xi_n)&=\tfrac{a_{n-2}}{a_n}\\
&\ldots\\
S_n(\xi_1\dots,\xi_n)&=(-1)^n \cdot \tfrac{a_0}{a_n}
\end{align}

Uwaga  Każdy wielomian stopnia n,  nad ciałem k,  ma n  pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem K, będącym rozszerzeniem ciała k (ale na ogół wielomian ten nie ma n   pierwiastków nad samym ciałem k).

Ze wzorów Viète'a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie  Niech \xi_1,\dots,\xi_n będą pierwiastkami wielomianu f,  stopnia n, nad ciałem k  (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała k).  Niech F   będzie wielomianem symetrycznym stopnia n,   nad tym samym ciałem k (może być nad mniejszym). Wtedy
F(\xi_1,\dots,\xi_n) \in k

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]