Wielomiany Bernsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wielomiany Bernsteinawielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji f\colon [0,1] \to \mathbb R, wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

E_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n f\left(\frac{i}{n}\right) B_i^n(t)

gdzie B_i^n(t) to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

B^n_i(t) = \begin{cases}
 {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} & \mbox{ dla } i=0\ldots n\\
 0 & \mbox{ dla } i < 0,\ i > n
\end{cases}

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni. (W publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i pisze po prostu wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina[edytuj | edytuj kod]

Zależność rekurencyjna[edytuj | edytuj kod]

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

B_i^n(t) = (1-t) B_i^{n-1}(t) + t B_{i-1}^{n-1}(t)

Rozkład jedynki[edytuj | edytuj kod]

\sum_{i=0}^n B_i^n(t) = 1

Dodatniość[edytuj | edytuj kod]

B_i^n(t) \geqslant 0 dla t \in [0,1]

Symetria[edytuj | edytuj kod]

B_i^n(t) = B_{n-i}^n(1-t)

Iloczyn[edytuj | edytuj kod]

B_i^n(t) B_j^m(t) = \frac{{n \choose i} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {i+j}} } B_{i+j}^{n+m}(t)

Pochodna[edytuj | edytuj kod]

\frac{d}{dt} B_i^n(t) = n \left( B_{i-1}^{n-1}(t) - B_i^{n-1}(t) \right)

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia[edytuj | edytuj kod]

B_i^n(t) = \frac{n+1-i}{n+1} B_i^{n+1}(t) + \frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(t)

Aproksymacja jednostajna[edytuj | edytuj kod]

Niech f:[0,1] \to \mathbb R będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina \langle E_n(f): n=0,1,2,\ldots \rangle jest jednostajnie zbieżny do funkcji f.

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany te dane są wzorem:

B_{ijk}^n(r,s,t) = \begin{cases}
 \frac{n!}{i! j! k!} r^i s^j t^k & \mbox{ dla }i,j,k \geqslant 0 \mbox{ oraz }i+j+k = n \\
 0 & \mbox{ w przeciwnym razie }
\end{cases}

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność:

B_{ijk}^n(ar,as,at) = a^n B_{ijk}^n(r,s,t)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]