Wielomiany Hermite'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Hermite'a - to wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

H_{n+1}(x) = 2xH_{n}(x) - 2nH_{n-1}(x)\!,

przy warunkach początkowych

H_{0}(x) = 1 \,
H_{1}(x) = 2x \,

Wielomiany Hermite'a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Równoważne definicje[edytuj | edytuj kod]

H_{n}(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}
H_n(x) = \frac{2^n}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(x+it)^ne^{-t^2}dt
H_n(x) = \frac{d}{dt}e^{-t^2+2xt}\Bigg|_{t=0}

Wykładnicza funkcja tworząca[edytuj | edytuj kod]

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite'a jest

G(x,t)=e^{-t^{2} + 2tx} = \sum _{n=0} ^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n!}.

Innymi słowami - jeśli rozwiniemy

e^{-t^{2} + 2tx}

w szereg Maclaurina względem zmiennej t\!, współczynnikiem przy \frac{t^n}{n!} będzie H_n(x)\!.

Wykresy pierwszych czterech wielomianów[edytuj | edytuj kod]

Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite'a
H_{0}=1\!
H_{1}=2x\!
H_{2}=4x^2-2\!
H_{3}=8x^3-12x\!
H_4=16x^4-48x^2+12\!
H_5=32x^5-160x^3+120x\!
H_6=64x^6-480x^4+720x^2-120\!
H_7=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\!

Własności wielomianów Hermite'a[edytuj | edytuj kod]

  • H_n(x) jest wielomianem n-tego stopnia.
  • \frac{dH _{n}(x)}{dx} = 2nH _{n-1}(x)
  • H_{2n}(0) = (-1)^{n} \frac{(2n)!}{n!}
  • H_{n}(-x) = (-1)^{n} H_{n}(x)\!,

czyli dla n parzystego H_n(x) jest funkcją parzystą, a dla n nieparzystego - funkcją nieparzystą.

  • \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}2^n n! \delta_{nm},

czyli wielomiany Hermite'a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową e^{-x^2}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.