Wielomiany Laguerre'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre'a

Wielomiany Laguerre'a - wielomiany o współczynnikach rzeczywistych zdefiniowane jako:


L_{n}(x) = \frac{e^{x}}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}} \left( x^{n} e^{-x} \right)

Funkcja generująca[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany Laguerre'a są współczynnikami przy potęgach w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji

g(x,z) = \frac{ \exp \left( -\frac{zx}{1-z} \right) }{1-z}

Zachodzi zależność:

g(x,z) = \frac{ \exp \left( -\frac{zx}{1-z} \right) }{1-z} = \sum _{n=0} ^{\infty} L_{n}(x) z^{n}

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • \, 
L_{n}(0)=1
  • \,
L_{n}(x) = \frac{e^{x}}{2 \pi i} \oint \frac{s^{n} e^{-s}}{ (s-x)^{n+1} }ds
gdzie całkowanie odbywa się po dowolnym konturze zawierającym x.
  • \,
(n+1) L_{n+1}(x) = (2n+1 -x)L_{n}(x) - nL_{n-1}(x)
  • \,
x \frac{dL_{n}(x)}{dx}=nL_{n}(x) - nL_{n-1}(x)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]