Wielomiany Zernike'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Zernike'a są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany Zernike'a zdefiniowane są w postaci zespolonej:

V_n^{\pm m}(\rho,\theta) = R_n^m(\rho)\,\exp(\pm jm\theta)\,

gdzie:

n,m\,liczbami naturalnymi takimi, że 0 \leqslant m \leqslant n, oraz n-m\, jest parzyste
\rho,\theta\,współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).
R_n^m(\rho)\, jest wielomianem radialnym postaci:
R_n^m(\rho)=\sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}}(-1)^s\frac{(n-s)!}{s!(\frac{n+m}{2}-s)!(\frac{n-m}{2}-s)!}\rho^{n-2s}

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernike'a w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernike'a.

Z_n^m(\rho,\theta) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\theta) \, - wielomian parzysty
Z_n^{-m}(\rho,\theta) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\theta) \, - wielomian nieparzysty

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

V_0^0 1\,
V_1^1 \rho \exp(j\theta)\,
V_2^0 2\rho^2 - 1\,
V_2^2 \rho^2\ \exp(j2\theta)
V_3^1 (3\rho^3 - 2\rho)\ \exp(j\theta)
V_3^3 \rho^3\ \exp(j3\theta)
V_4^0 6\rho^4 - 6\rho^2+1\,
V_4^2 (4\rho^4 - 3\rho^2)\ \exp(j2\theta)\,
V_4^4 \rho^4\ \exp(j4\theta)\,

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernike'a:

V_2^0 V_2^2 V_3^1 V_3^3 V_4^0
Część rzeczywista Zer20re.png Zer22re.png Zer31re.png Zer33re.png Zer40re.png
Część urojona Zer22im.png Zer31im.png Zer33im.png

ZerPal.png

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany radialne są ortogonalne:

 \int\limits^1_0 \rho R_n^m(\rho,\theta)\ R_{n'}^m(\rho,\theta)\ d\rho = \frac{1}{2(n+1)}\delta_{nn'}

gdzie \delta_{nn'}\, oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernike'a:

 \iint \rho [V_n^m(\rho,\theta)]^{*}\ V_{p}^q(\rho,\theta)\ d\rho d\theta = \frac{\pi}{n+1}\delta_{nm}\delta_{pq}

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

V_n^m(\rho,\theta + \alpha) =  V_n^m(\rho,\theta)\exp(jm\alpha)

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

|V_n^m(\rho,\theta + \alpha)| =  |V_n^m(\rho,\theta)|.

Sprzężenie wielomianu Zernike'a ma wartość:

(V_n^m(\rho,\theta))^* = V_n^{-m}(\rho,\theta)\,

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

W optyce, wielomiany Zernike'a stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernike'a znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernike'a.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]