Wielomiany Zernike'a

Wielomiany Zernike'a są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja

Wielomiany Zernike'a zdefiniowane są w postaci zespolonej:

$V_n^{\pm m}(\rho,\theta) = R_n^m(\rho)\,\exp(\pm jm\theta)\,$

gdzie:

$n,m\,$ są liczbami naturalnymi takimi, że $0 \leqslant m \leqslant n$, oraz $n-m\,$ jest parzyste

$\rho,\theta\,$ są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).

$R_n^m(\rho)\,$ jest wielomianem radialnym postaci:

$R_n^m(\rho)=\sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}}(-1)^s\frac{(n-s)!}{s!(\frac{n+m}{2}-s)!(\frac{n-m}{2}-s)!}\rho^{n-2s}$

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernike'a w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernike'a.

$Z_n^m(\rho,\theta) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\theta) \,$ - wielomian parzysty

$Z_n^{-m}(\rho,\theta) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\theta) \,$ - wielomian nieparzysty

Przykłady

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

$V_0^0$	$1\,$
$V_1^1$	$\rho \exp(j\theta)\,$
$V_2^0$	$2\rho^2 - 1\,$
$V_2^2$	$\rho^2\ \exp(j2\theta)$
$V_3^1$	$(3\rho^3 - 2\rho)\ \exp(j\theta)$
$V_3^3$	$\rho^3\ \exp(j3\theta)$
$V_4^0$	$6\rho^4 - 6\rho^2+1\,$
$V_4^2$	$(4\rho^4 - 3\rho^2)\ \exp(j2\theta)\,$
$V_4^4$	$\rho^4\ \exp(j4\theta)\,$

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernike'a:

	$V_2^0$	$V_2^2$	$V_3^1$	$V_3^3$	$V_4^0$
Część rzeczywista
Część urojona

Własności

Wielomiany radialne są ortogonalne:

$\int\limits^1_0 \rho R_n^m(\rho,\theta)\ R_{n'}^m(\rho,\theta)\ d\rho = \frac{1}{2(n+1)}\delta_{nn'}$

gdzie $\delta_{nn'}\,$ oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernike'a:

$\iint \rho [V_n^m(\rho,\theta)]^{*}\ V_{p}^q(\rho,\theta)\ d\rho d\theta = \frac{\pi}{n+1}\delta_{nm}\delta_{pq}$

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

$V_n^m(\rho,\theta + \alpha) = V_n^m(\rho,\theta)\exp(jm\alpha)$

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

$|V_n^m(\rho,\theta + \alpha)| = |V_n^m(\rho,\theta)|$.

Sprzężenie wielomianu Zernike'a ma wartość:

$(V_n^m(\rho,\theta))^* = V_n^{-m}(\rho,\theta)\,$

Zastosowanie

W optyce, wielomiany Zernike'a stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernike'a znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernike'a.

Zobacz też

• Wielomiany Legendre'a

Linki zewnętrzne

• Wielomiany Zernike'a na Mathworld (en.)
• James C. Wyant: "Zenike Polyniomials" (en.)