Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Reprezentacja podstawy wielomianów stopnia Bernsteina 2
Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.
Dla funkcji
f
:
[
0
,
1
]
→
R
,
{\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,}
wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:
E
n
(
f
)
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
i
n
)
B
i
n
(
t
)
,
{\displaystyle E_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(t),}
gdzie
B
i
n
(
t
)
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)}
to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:
B
i
n
(
t
)
=
{
(
n
i
)
t
i
(
1
−
t
)
n
−
i
dla
i
=
0
…
n
0
dla
i
<
0
,
i
>
n
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)={\begin{cases}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}&{\mbox{dla}}\ i=0\ldots n\\0&{\mbox{dla}}\ i<0,\ i>n\end{cases}}}
Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej : krzywych Béziera , płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina ).
Własności wielomianów bazowych Bernsteina [ edytuj | edytuj kod ]
Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:
B
i
n
(
t
)
=
(
1
−
t
)
B
i
n
−
1
(
t
)
+
t
B
i
−
1
n
−
1
(
t
)
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)=(1-t)B_{i}^{n-1}(t)+tB_{i-1}^{n-1}(t)}
∑
i
=
0
n
B
i
n
(
t
)
=
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)=1}
B
i
n
(
t
)
⩾
0
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)\geqslant 0}
dla
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
B
i
n
(
t
)
=
B
n
−
i
n
(
1
−
t
)
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)=B_{n-i}^{n}(1-t)}
B
i
n
(
t
)
B
j
m
(
t
)
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)B_{j}^{m}(t)}
=
(
n
i
)
(
m
j
)
(
n
+
m
i
+
j
)
B
i
+
j
n
+
m
(
t
)
{\displaystyle ={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{i+j}^{n+m}(t)}
d
d
t
B
i
n
(
t
)
=
n
(
B
i
−
1
n
−
1
(
t
)
−
B
i
n
−
1
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}B_{i}^{n}(t)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_{i}^{n-1}(t)\right)}
Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia [ edytuj | edytuj kod ]
B
i
n
(
t
)
=
n
+
1
−
i
n
+
1
B
i
n
+
1
(
t
)
+
i
+
1
n
+
1
B
i
+
1
n
+
1
(
t
)
{\displaystyle B_{i}^{n}(t)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(t)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(t)}
Niech
f
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }
będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina
⟨
E
n
(
f
)
:
n
=
0
,
1
,
2
,
…
⟩
{\displaystyle \langle E_{n}(f):n=0,1,2,\dots \rangle }
jest jednostajnie zbieżny do funkcji
f
.
{\displaystyle f.}
Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych [ edytuj | edytuj kod ]
Wielomiany te dane są wzorem:
B
i
j
k
n
(
r
,
s
,
t
)
=
{
n
!
i
!
j
!
k
!
r
i
s
j
t
k
dla
i
,
j
,
k
⩾
0
oraz
i
+
j
+
k
=
n
0
w przeciwnym razie
{\displaystyle B_{ijk}^{n}(r,s,t)={\begin{cases}{\frac {n!}{i!j!k!}}r^{i}s^{j}t^{k}&{\mbox{dla}}\ i,j,k\geqslant 0\ {\mbox{oraz}}\ i+j+k=n\\0&{\mbox{w przeciwnym razie}}\end{cases}}}
i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera .
B
i
j
k
n
(
a
r
,
a
s
,
a
t
)
=
a
n
B
i
j
k
n
(
r
,
s
,
t
)
{\displaystyle B_{ijk}^{n}(ar,as,at)=a^{n}B_{ijk}^{n}(r,s,t)}