Wnętrze (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Punkt W jest punktem wewnętrznym figury.

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru F oznaczamy Int(F), int(F) lub F°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

  1. Wnętrze jest otwartym podzbiorem F.
  2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów F.
  3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F.
  4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
  5. int(int(S)) = int(S).
  6. Jeżeli S jest podzbiorem F, to int(S) jest podzbiorem int(F).
  7. int(SF)=int(S)∩int(F)
  8. Jeżeli S jest zbiorem otwartym, to S jest podzbiorem F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podzbiorem int(F).

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.

Zauważmy też, że w przestrzeni metrycznej punkt p zbioru F jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p całkowicie zawarta w zbiorze F.

Pozostałe własności[edytuj | edytuj kod]

  1.  \operatorname{Int}\; A \cup \operatorname{Int}\; B \subset \operatorname{Int}\; (A \cup B) dla dowolnych zbiorów A \subset X,\ B \subset X
  2.  \bigcup_{s \in S} \operatorname{Int}\; A_s \subset \operatorname{Int}\; \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right) dla dowolnej rodziny zbiorów \{A_s \subset X: s \in S\}
  3. Dla każdego A \subset X mamy
    \operatorname{Int}\; A = X \setminus \operatorname{cl}\; (X \setminus A)

Operacja wnętrza a topologia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(X)=X, gdzie X oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze X[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
  • W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
  • Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
    • wnętrzem przedziału domkniętego [a, b] jest przedział otwarty (a, b)
    • wnętrzem przedziału [a, b) jest przedział (a, b)
    • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
    • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.