Wolno zmieniająca się funkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W analizie rzeczywistej, dziedzinie matematyki, wolno zmieniająca się funkcja jest funkcją przypominającą funkcję zbieżną w nieskończoności. Wolno zmieniające się funkcje są ważne w teorii prawdopodobieństwa

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcja L \colon (0,\infty) \to (0,\infty) jest wolno zmieniająca się (w nieskończoności) jeśli dla dowolnego a > 0,

\lim_{x \to \infty} \frac{L(ax)}{L(x)}=1.

Jeżeli ta granica jest skończona ale niezerowa dla wszystkich a > 0, wówczas L jest nazywana regularnie zmieniająca się funcją. Definicja pochodzi od Jovana Karamaty.[1]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli \lim_{x \to \infty} L(x) = b \in (0,\infty), wtedy  L jest wolno zmieniającą się funkcją.
  • Dla dowolnego  \beta \in \Bbb{R}, L(x)= (\log x)^{\beta} jest wolno zmieniającą się funkcją.
  • Funkcja L(x)=x nie jest wolno zmieniająca się; nie jest taką też L(x)=x^\beta dla dowolnego rzeczywistego \beta\ne 0.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Najważniejsze własności[1]

  • Granica w definicji jest jednostajna jeśli a jest ograniczone do odcinka skończonego.
  • Każda regularnie zmieniająca się funkcja ma formę x βL(x) gdzie β ≥ 0 i L i jest wolno zmieniającą się funkcją.
  • Dla każdej wolno zmieniającej się funkcji L, istnieje B > 0 takie, że dla wszystkich xB funkcja może być zapisana jako
 L(x) = \exp \left( \eta(x) + \int_B^x \frac{\varepsilon(t)}{t} \,dt \right)
gdzie η(x) zbiega do skończonej liczby a ε(x) zbiega do zera gdy x zmierza do nieskończoności.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 J. Galambos, E. Seneta, "Regularly Varying Sequences", Proceedings of the American Mathematical Society, 41 (1)1973, 110-116; ISSN 0002-9939