Współczynniki greckie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W matematyce finansowej współczynniki greckie oznaczają wrażliwość rynku opcji lub innych instrumentów pochodnych. Greckie współczynniki mierzą zmianę wartości opcji w stosunku do zmiany czynników wpływających na wartość opcji.

Współczynniki greckie[edytuj | edytuj kod]

Delta[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik delta oznacza przewidywany stopień zmiany ceny opcji w zależności od małej zmiany ceny instrumentu bazowego będącego przedmiotem opcji[1].

Współczynnik ten przyjmuje wartość dla opcji kupna z przedziału od 0 do 1, a dla opcji sprzedaży od –1 do 0. W przypadku instrumentu bazowego wartość delta wynosi 1.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}.

gamma[edytuj | edytuj kod]

Jest miarą zmiany wartości współczynnika delta. \Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}.

theta[edytuj | edytuj kod]

Mierzy wrażliwość wartości opcji na upływ czasu do wygaśnięcia. \Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}.

vega[edytuj | edytuj kod]

Jest miarą zmiany wartości opcji na skutek zmiany zmienności instrumentu bazowego, \nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}. Vega nie jest nazwą litery alfabetu greckiego. Jako symbolu używa się litery \nu (ny). W niektórych opracowaniach używa się kappa, \kappa.

rho[edytuj | edytuj kod]

Mierzy wrażliwość zmiany wartości opcji na zmianę stopy wolnej od ryzyka. \rho = \frac{\partial V}{\partial r}.

Black-Scholes[edytuj | edytuj kod]

Na podstawie modelu Blacka-Scholesa współczynniki greckie są liczone w następujący sposób. \phi (phi) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego oraz \Phi jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego. Należy zauważyć, że gamma i vega mają takie same wzory dla opcji kupna i sprzedaży.

Dla danych: ceny instrumentu bazowego, S \,,
ceny wykonania, K \,,
stopy wolnej od ryzyka, r \,,
rocznej stopa dywidendy dla indeksu, q \,,
czas do realizacji, \tau = T-t \,, i
historyczna zmienność, \sigma \, ...

Opcje kupna Opcje sprzedaży
delta e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, -e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \,
gamma e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \,
vega Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \,
theta -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \,
rho K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \,
volga Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = Vega \frac{d_1 d_2}{\sigma} \,
vanna -e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{Vega}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\,
charm -qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) - e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,
color -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \,
dual delta -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \,
dual gamma e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \,

gdzie

d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}
d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - q - \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}
\phi(x) = \frac{e^{- \frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}}
\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy = \int_{-x}^{\infty} \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Dyrektywa 2006/49/WE Parlamentu Europejskiego i Rady z dnia 14 czerwca 2006 r. w sprawie adekwatności kapitałowej firm inwestycyjnych i instytucji kredytowych (CELEX: 32006L0049).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Gpw.pl Informacje na temat wyceny opcji.