Współczynniki greckie

W matematyce finansowej współczynniki greckie oznaczają wrażliwość rynku opcji lub innych instrumentów pochodnych. Greckie współczynniki mierzą zmianę wartości opcji w stosunku do zmiany czynników wpływających na wartość opcji.

Współczynniki greckie

Delta

Określa reakcję ceny kontraktu terminowego na zmianę ceny instrumentu bazowego. Współczynnik ten przyjmuje wartość dla opcji kupna z przedziału od 0 do 1, a dla opcji sprzedaży od –1 do 0.

Wzór

$\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$.

gamma

Jest miarą zmiany wartości współczynnika delta. $\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$.

theta

Mierzy wrażliwość wartości opcji na upływ czasu do wygaśnięcia. $\Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}$.

vega

Jest miarą zmiany wartości opcji na skutek zmiany zmienności instrumentu bazowego, $\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}$. Vega nie jest nazwą litery alfabetu greckiego. Jako symbolu używa się litery $\nu$ (ny). W niektórych opracowaniach używa się kappa, $\kappa$.

rho

Mierzy wrażliwość zmiany wartości opcji na zmianę stopy wolnej od ryzyka. $\rho = \frac{\partial V}{\partial r}$.

Black-Scholes

Na podstawie modelu Blacka-Scholesa współczynniki greckie są liczone w następujący sposób. $\phi$ (phi) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego oraz $\Phi$ jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego. Należy zauważyć, że gamma i vega mają takie same wzory dla opcji kupna i sprzedaży.

Dla danych: ceny instrumentu bazowego, $S \,$,
ceny wykonania, $K \,$,
stopy wolnej od ryzyka, $r \,$,
rocznej stopa dywidendy dla indeksu, $q \,$,
czas do realizacji, $\tau = T-t \,$, i
historyczna zmienność, $\sigma \,$...

	Opcje kupna	Opcje sprzedaży
delta	$e^{-q \tau} \Phi(d_1) \,$	$-e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \,$
gamma	$e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \,$
vega	$Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \,$
theta	$-e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \,$	$-e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \,$
rho	$K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\,$	$-K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \,$
volga	$Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = Vega \frac{d_1 d_2}{\sigma} \,$
vanna	$-e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{Vega}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\,$
charm	$-qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,$	$qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) - e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,$
color	$-e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \,$
dual delta	$-e^{-r \tau} \Phi(d_2) \,$	$e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \,$
dual gamma	$e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \,$

gdzie

$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$

$d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - q - \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}$

$\phi(x) = \frac{e^{- \frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}}$

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy = \int_{-x}^{\infty} \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy$

Zobacz też

• delta neutralny
• model Blacka-Scholesa
• wzór Blacka-Scholesa
• Opcja

Linki zewnętrzne

• Gpw.pl Informacje na temat wyceny opcji.