Współrzędne uogólnione

Współrzędne uogólnione – jest to układ współrzędnych, używany w mechanice klasycznej i mechanice kwantowej do przedstawienia innego układu współrzędnych, w uproszczony sposób.

Wyprowadzenie

Jeśli układ 3n współrzędnych kartezjańskich x₁, x₂, ... , x_3n układu n cząstek zostanie poddany r więzom, w postaci:
$\varphi(x_1, x_2, ... , x_{3n}, t) = c_i$
i = f+1, ... , f+r
gdzie c jest stałą zależną tylko od wskaźnika i.
Należy w miejsce 3n współrzędnych kartezjańskich x₁, x₂, ... , x_3n, wprowadzić nowe współrzędne q₁, q₂, ... , q_3n, takie aby:
$q_i = q_i(x_1, x_2, ... , x_{3n}, t)$
dla i = 1, ... , f
oraz:
$q_i = \varphi_i (x_1, x_2, ... , x_{3n}, t) = c_i$
dla: i = f+1, ... , 3n
Taka zamiana zmiennych powoduje, że współrzędne q_f+1, ... , q_3n w liczbie r są wielkościami stałymi, natomiast współrzędne q₁, ... , q_f są dowolnymi funkcjami starych współrzędnych.

Współrzędne q₁, ... , q_f nazywa się współrzędnymi uogólnionymi i należy przez nie rozumieć współrzędne wzajemnie niezależne od siebie, a których zespół zadaje jednoznaczność każdego położenia układu, zgodnie z więzami.

Z tej definicji wynika, że współrzędne kartezjańskie są funkcjami współrzędnych uogólnionych, natomiast ich postać jest taka, że równania więzów są spełnione tożsamościowo.

Bibliografia

• Kazimierz Gumiński, Piotr Petelenz: Elementy chemii teoretycznej. Warszawa: PWN, 1989, s. 42-43. ISBN 83-01-08109-0.