Układ współrzędnych walcowych

Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Posługiwanie się układem cylindrycznym jest korzystne gdy trajektoria ruchu ma osiową (cylindryczną) symetrię.

Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy wersory ${\hat {n}}_{\rho },$ ${\hat {n}}_{\phi },$ ${\hat {n}}_{z},$ które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu $P$. Każdy punkt $P$ przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych $(\rho ,\phi ,z),$ gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:

$\rho$ – promień cylindra przeprowadzonego przez punkt $P$,

$\phi$ – kąt między osią $x$ układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący $r(t)$ i kierunek ${\hat {n}}_{z}$,

$z$ – wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego).

Można wyprowadzić wzór: $r(t)=\rho {\hat {n}}_{\rho }+z{\hat {n}}_{z}$.

Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej $r{:}$ $v(t)={\frac {dr}{dt}}={\dot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+\rho {\dot {\hat {n}}}_{\rho }+{\dot {z}}{\dot {\hat {n}}}_{z}$ (gdzie ${\dot {}}$ oznacza pierwszą pochodną względem czasu). Wersor ${\hat {n}}_{z}$ nie zmienia swojej orientacji i dlatego ${\dot {{\hat {n}}_{z}}}=0,$ co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu. Wersor ${\dot {\hat {n}}}_{\rho }$ należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory ${\hat {n}}_{x}$ i ${\hat {n}}_{y}$ układu nieruchomego.

${\hat {n}}_{\rho }={\hat {n}}_{x}\cos \phi +{\hat {n}}_{y}\sin \phi$,

${\hat {n}}_{\phi }=-{\hat {n}}_{x}\sin \phi +{\hat {n}}_{y}\cos \phi$.

Zatem:

${\dot {{\hat {n}}_{\rho }}}=-{\hat {n}}_{x}\sin \phi {\dot {\phi }}+{\hat {n}}_{y}\cos \phi {\dot {\phi }}={\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }$,

${\dot {{\hat {n}}_{\phi }}}=-{\hat {n}}_{x}\cos \phi {\dot {\phi }}-{\hat {n}}_{y}\sin \phi {\dot {\phi }}=-{\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\rho }$.

Stąd prędkość:

$v(t)={\dot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+\rho {\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+{\dot {z}}{\hat {n}}_{z}$,

a jej długość:

$|v|={\sqrt {({\dot {\phi }})^{2}+(\rho {\dot {\phi }})^{2}+({\dot {z}})^{2}}}$.

Przyspieszenie:

$a(t)={\frac {dv}{dt}}={\ddot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\hat {n}}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+\rho {\ddot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+\rho {\dot {\phi }}{\dot {\hat {n}}}_{\phi }+{\ddot {z}}{\hat {n}}_{z}={\hat {n}}_{\rho }({\ddot {\rho }}-\rho ({\dot {\phi }})^{2})+{\hat {n}}_{\phi }(2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}+\rho {\ddot {\phi }})+{\hat {n}}_{z}{\ddot {z}}$

$|a|={\sqrt {({\ddot {\rho }}-\rho ({\dot {\phi }})^{2})^{2}+(2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}+\rho {\ddot {\phi }})^{2}+({\ddot {z}})^{2}}}$.

Przykład zastosowania

Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład jednostajny ruch po okręgu:

$\rho =R=const$,

$\phi =\omega t,\omega =const$,

$z=0$

oraz:

$r(t)=R{\hat {n}}_{\rho }$,

$v(t)=\omega R{\hat {n}}_{\phi }$,

$a(t)=-\omega ^{2}R{\hat {n}}_{\rho }$.

Zobacz też

Inne układy współrzędnych

• współrzędne biegunowe
• współrzędne sferyczne
• współrzędne uogólnione
• współrzędne krzywoliniowe

Szczególne układy współrzędnych

• współrzędne astronomiczne
• współrzędne galaktyczne
• współrzędne geodezyjne
• współrzędne geograficzne