Wstęga Möbiusa

Model wstęgi Möbiusa wykonany z paska papieru

Wstęga Möbiusa – szczególna powierzchnia jednostronna opisana niezależnie przez niemieckich matematyków Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku: dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna, nieorientowalna z brzegiem.

Jej model można uzyskać, sklejając taśmę końcami przy odwróceniu jednego z końców o kąt 180°. Stylizowana wstęga Möbiusa jest symbolem recyklingu; w innej stylizacji jest obecna w logotypie Międzynarodówki humanistycznej. W sztuce znana jest z grafiki Mauritsa Cornelisa Eschera przedstawiającej mrówki idące po wstędze Möbiusa.

Wstęga Möbiusa przy odpowiednim ułożeniu przypomina symbol nieskończoności $\infty ,$ co może prowadzić do błędnych przypuszczeń, że symbol ten pochodzi od wstęgi Möbiusa.

• 
  Symbol recyklingu
• 
  Logo Międzynarodówki humanistycznej

Konstrukcje

Należy złączyć krawędzie czerwone tak, aby strzałki miały ten sam zwrot

Wykres parametryczny

Relacja równoważności

Wstęgę Möbiusa można skonstruować z prostokąta $[0;a]\times [0;b]$ wprowadzając relację $(x,0)\sim (a-x,b)$ dla $0\leqslant x\leqslant a,$ która utożsamia dwie przeciwległe krawędzie, wraz z topologią ilorazową względem relacji $\sim$.

Parametryzacja

Innym sposobem jest określenie parametryzacji tej powierzchni. Niech dany będzie odcinek $AB$ długości $2a$ i środku $C$ poruszający się w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$ o początku układu $O$ w ten sposób, że punkt $C$ zakreśla okrąg sparametryzowany równaniami:

$x(u)=r\cos u,$

$y(u)=r\sin u,$

$z(u)=0,$

gdzie $0\leqslant u\leqslant 2\pi$. Niech odcinek $AB$ będzie stale prostopadły do $OC,$ a kąt nachylenia tego odcinka do płaszczyzny $\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon z=0\}$ niech równa się ${\tfrac {u}{2}}$. Wtedy odcinek $AB$ zakreśla wstęgę Möbiusa o parametryzacji:

$x(u,v)=r\cos u-v\sin {\tfrac {u}{2}}\sin u,$

$y(u,v)=r\sin u+v\sin {\tfrac {u}{2}}\cos u,$

$z(u,v)=v\cos {\tfrac {u}{2}},$

gdzie $0\leqslant u<2\pi$ oraz $-a\leqslant v\leqslant a$. Zmiana parametru $u$ powoduje poruszanie punktu wzdłuż wstęgi, zmiana parametru $v$ – w poprzek.

Własności topologiczne

Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w przestrzeni trójwymiarowej. Jej nieorientowalność oznacza, że ma tylko jedną stronę, tzn. jest powierzchnią jednostronną. W przypadku gładkich parametryzacji oznacza to, że oś normalna wstęgi Möbiusa nie może być funkcją ciągłą na całej powierzchni wstęgi.

Jej brzeg jest homeomorficzny z okręgiem. Oznacza to, wstęga ma tylko jedną intuicyjnie rozumianą krawędź, w przeciwieństwie np. do powierzchni bocznej walca, która ma dwie krawędzie. „Zaklejenie” tego brzegu (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) kołem daje płaszczyznę rzutową, „zaklejenie” tego brzegu inną wstęgą Möbiusa daje butelkę Kleina. Płaszczyzna rzutowa i butelka Kleina są innymi przykładami powierzchni nieorientowalnej. Zachodzi ogólna własność: powierzchnia jest nieorientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podzbiór homeomorficzny ze wstęgą Möbiusa.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0.

Rozcinanie wstęgi Möbiusa

Jednokrotne przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej w połowie szerokości

Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej na 1/3 szerokości

Różne sposoby rozcinana wstęgi Möbiusa

Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż jej linii środkowej nie powoduje jej rozkładu na dwa rozłączne obiekty, lecz powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy (posiadającej dwie strony). Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w jednej trzeciej szerokości powoduje otrzymanie jednej węższej wstęgi Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecionej z nią dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy. W wyniku przecięcia taśmy skręconej przed sklejeniem nie o 180°, jak w przypadku wstęgi Möbiusa, ale 360°, otrzymuje się dwa kręgi węzłowe, połączone jak ogniwa w łańcuchu.

Zobacz też

• butelka Kleina

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Möbius Strip, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• ogólnojęzykowa definicja wstęgi Möbiusa w Wielkim słowniku języka polskiego pod redakcją Piotra Żmigrodzkiego