Wymiar (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wymiar, w intuicyjnym znaczeniu, to minimalna liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania jakiegoś zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał w.=0, prosta w.=1, płaszczyzna w.=2 itd.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń - trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

Wymiar przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej  \mathbb{R}^n wynosi  n ; w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np.  p :=(20,30) ; w układzie trójwymiarowym - trzy współrzędne, np.  p := (20,30,45).

Ponieważ przestrzeń  \mathbb{R}^3 dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonym zachodzi naturalne utożsamienie:

\mathbb{C}^n = \mathbb{R}^{2\cdot n}

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym  n , ma wymiar rzeczywisty  2 \cdot n . Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

Wymiar przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład, wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo \aleph_0.

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy \aleph_0, to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech  X będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni  X oznaczany symbolem  \mathrm{ind}X . Mały wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określa się go za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1)  \mathrm{ind}X = -1 \iff X = \varnothing

(MU2)  \mathrm{ind}X \leqslant n   (dla  \,n\geqslant 0),  jeśli dla każdego punktu \,x \in X oraz jego dowolnego otoczenia V \subseteq X istnieje zbiór otwarty U \subseteq X taki, że x \in U \subseteq V  oraz  \mathrm{ind}\,\partial U \leqslant n - 1

(MU3)  \,\mathrm{ind}X = n,  gdy \mathrm{ind}X \leqslant n oraz nie zachodzi \mathrm{ind}X \leqslant n - 1

(MU4) \mathrm{ind}X = \infty, gdy dla żadnego  \,n = -1, 0, 1, \dots  nie jest prawdą, że \mathrm{ind}X \leqslant n.

Uwaga  Od zbioru  U można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze  V (definicja pozostanie równoważna).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)[edytuj | edytuj kod]

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji małego wymiaru indukcyjnego punktu przez zbiór domknięty:

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech  X będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni  X oznaczany symbolem  \mathrm{Ind}X Duży wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określony jest za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1)  \mathrm{Ind}X = -1 \iff X = \varnothing

(DU2)  \mathrm{Ind}X \leqslant n   (dla  \,n\geqslant 0),  jeśli dla każdego zbioru domkniętego \,F \subseteq X oraz jego dowolnego otoczenia V \subseteq X istnieje zbiór otwarty U \subseteq X taki, że  F \subseteq U \subseteq V  oraz  \mathrm{Ind}\,\partial U \leqslant n - 1.

(DU3)  \,\mathrm{Ind}X = n,  gdy \mathrm{Ind}X \leqslant n oraz nie zachodzi \mathrm{Ind}X \leqslant n - 1

(DU4)  \mathrm{Ind}X = \infty, gdy dla żadnego  \,n = -1, 0, 1, \dots  nie jest prawdą, że \mathrm{Ind}X \leqslant n.

Uwaga Od zbioru  U można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze  V .

Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia)[edytuj | edytuj kod]

Dowolnej przestrzeni normalnej  X można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue'a, który będziemy oznaczać  \dim X . Wymiar  \dim X jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1 lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1) 
 \dim X \leqslant n , jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni  X można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde  n+2 zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2) 
 \dim X = n , jeśli  \dim X \leqslant n , ale nieprawda, że  \dim X \leqslant n - 1 .
(CL3) 
 \dim X \leqslant n jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby  n nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

Historia pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue'a własności kostki n-wymiarowej.

Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze  n ), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.

Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że dowolnie wybrane cztery prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby żadna z trójek prostokątów nie miała części wspólnej.

Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie stertę cegieł) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale musi istnieć taka czwórka prostopadłościanów, która ma niepuste przecięcie (w wyobrażonym obrazie sterty cegieł - każda cegła musi mieć punkt w którym styka się z trzema innymi cegłami).

Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć kostkami odpowiedniego wymiaru ("cegiełkami"), ale dla pokryć dowolnymi zbiorami otwartymi. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue'a.

Wymiar rozmaitości topologicznej[edytuj | edytuj kod]

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią  \mathbb{R}^n . Wtedy  n jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Istnieje więcej niż jedno pojęcie "wymiaru fraktalnego". Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

Równoważność definicji wymiaru[edytuj | edytuj kod]

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru:  \mathrm{ind}, \mathrm{Ind}, \dim , są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto  \dim oraz  \mathrm{Ind} są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy  \mathrm{ind}, \mathrm{Ind} są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

\frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,58.
WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło wymiar w Wikisłowniku

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.