Wzór Ackermanna

Wzór Ackermanna (lub formuła Ackermanna, ang. Ackermann’s formula) – algorytm, przedstawiony w 1972 roku, stosowany do lokowania biegunów w układach ze sprzężeniem zwrotnym od stanu.

Niech dany będzie układ liniowy ze sprzężeniem zwrotnym:

$u=-Kx,$

gdzie $u$ jest wektorem sterowań, $x$ wektorem stanu, $K$ wektorem wzmocnień. Układy tego typu zwykle nazywa się regulatorami. Podstawienie powyższego związku do równań stanu regulowanego układu daje zależność:

$x'=Ax-BKx.$

Wzór Ackermanna jest metodą doboru wartości wzmocnień $K$ w taki sposób, by można było wpływać na położenie biegunów układu regulowanego (o jednym wejściu). Jeśli więc układ ten jest sterowalny można dobrać arbitralnie bieguny dla regulatora układu korzystając z wzoru Ackermanna:

$K={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\zeta ^{-1}\phi (A),$

gdzie:

${\begin{bmatrix}0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$ jest wektorem jednostkowym o długości $n,$

$\phi (A)$ jest pożądanym równaniem charakterystycznym układu, czyli wielomianem charakterystycznym macierzy $A$ określonym wzorem $\phi (A)=A^{n}+a_{1}A^{n-1}+a_{2}A^{n-2}+\ldots +a_{n-1}A+a_{n}I,$ gdzie $I$ jest macierzą jednostkową, a współczynniki $a_{i}$ są takie, że wartości własne układu: $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ są pierwiastkami wielomianu $(s-{\lambda _{1}})(s-{\lambda _{2}})\dots (s-{\lambda _{n}})=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}\ldots +a_{n-1}s+a_{n},$

$\zeta ={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}$ jest macierzą sterowalności regulowanego układu.

Regulator tego typu ma za zadanie doprowadzić wektor stanu do zera. Korzystając z wejścia ze zmienną referencyjną w miejsce liniowego sprzężenia zwrotnego od stanu, można podobnie przeprowadzić wektor stanu do dowolnego stanu wybranego arbitralnie i przesunąć bieguny układu w arbitralnie wybrane miejsca.