Wzór Leibniza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć n-tą pochodną iloczynu funkcji. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

Niech f\, i g\, będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu n włącznie. Wtedy pochodna n-tego rzędu iloczynu f \cdot g\, wyraża się wzorem:

(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)},
(1)

gdzie {n \choose k} to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a f^{(0)}:=f. Wzór ten możemy też przedstawić używając notacji wielowskaźnikowej:

\partial^\alpha (fg) = \sum_{\beta \le \alpha} {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g)

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Wzór

{{d^n f(x)g(x)}\over{d x^n}}=\sum^n_{i=0} { n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)

udowodnimy używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na n.

Dla n=1\, otrzymujemy:

{{d f(x)g(x)}\over{d x^2}}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x) + {1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x)
f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)=f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)\,

Teraz udowodnimy ten wzór dla n+1\,, przy założeniu, że jest on spełniony dla n\,


\begin{align}
{{d^{n+1} f(x)g(x)}\over{d x^{n+1}}}=&{{d}\over{d x}}{{d^n f(x)g(x)}\over{d x^n}}={{d}\over{d x}}\left({ n\choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x) \right)=\\
=&\left(\sum^n_{i=0}{n \choose i}f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x) \right)+\left(\sum^n_{i=0}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x) \right)\\
\end{align}

Weźmy teraz dla pierwszego członu i^\prime=i+1\,.

\begin{align}{{d^{n+1} f(x)g(x)}\over{d x^{n+1}}}=&\left(\sum^{n+1}_{i^\prime=1}{n \choose {i^\prime-1}}f^{(i^\prime)}(x)g^{(n-i^\prime+1)}(x) \right)+\left(\sum^n_{i=0}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x) \right)=\\
=&\sum^{n+1}_{i=0} \left({n \choose i-1}+{n \choose i}\right)f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)=\sum^{n+1}_{i=0}{ n+1\choose i} f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x)\\\end{align}.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Istnieje podobny wzór, zachodzący dla r funkcji f_1,\dots,f_r\, różniczkowalnych i mających pochodne aż do n-tego rzędu włącznie. Pochodna n-tego rzędu iloczynu f_1\dots f_r = \Pi_{i=1}^{r}f_i\, wyraża się wzorem:

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\prod_{{i=1}}^{r}f_{i}(x)=\sum_{{n_{1}+\cdots+n_{r}=n}}{n \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}}\prod_{{i=1}}^{r}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x),
(2)

gdzie

{n \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}}:=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\dots n_r!}

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje n. .

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na r. Dla r=2 wzór (2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1):

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\prod_{{i=1}}^{2}f_{i}(x)=\sum_{{n_{1}+n_2=n}}{n \choose n_{1},n_{2}}\prod_{{i=1}}^{2}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)=
\sum_{n_1=0}^{n}
{n \choose n_{1},(n-n_{1})}\frac{d^{{n_{1}}}}{dx^{{n_{1}}}}f_{1}(x)
\frac{d^{n-{n_{1}}}}{dx^{n-{n_{1}}}}f_{2}(x)=
\sum_{n_1=0}^{n}
\frac{n!}{n_1!\,(n-n_1)!}
\frac{d^{{n_{1}}}}{dx^{{n_{1}}}}f_{1}(x)
\frac{d^{n-{n_{1}}}}{dx^{n-{n_{1}}}}f_{2}(x)

Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej r, większej od 2. Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla r+1 funkcji f_1,\dots,f_r,\,f_{r+1}\,. Na początek zapiszmy

\prod_{{i=1}}^{{r+1}}f_{i}(x)=\left(f_{{r+1}}(x)\right)\left(\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, f_{r+1} oraz \prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}:

{d^{n}\over dx^{n}}\left(f_{{r+1}}(x)\right)\left(\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)=\sum_{{n_{{r+1}}=0}}^{n}\left({n\atop n_{{r+1}}}\right)\left({d^{{n_{{r+1}}}}\over dx^{{n_{{r+1}}}}}f_{{r+1}}(x)\right)\left({d^{{n-n_{{r+1}}}}\over dx^{{n-n_{{r+1}}}}}\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)

(wyrażenie n_{r+1} odgrywa rolę wskaźnika i i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

\left({d^{{n-n_{{r+1}}}}\over dx^{{n-n_{{r+1}}}}}\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)
=\sum_{{n_{1}+\cdots+n_{r}=n-n_{r+1}}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}}\prod_{{i=1}}^{r}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy otrzymujemy:

{d^{n}\over dx^{n}}\left(f_{{r+1}}(x)\right)\left(\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)=\sum_{{n_{{r+1}}=0}}^{n}\left({n\atop n_{{r+1}}}\right)\left({d^{{n_{{r+1}}}}\over dx^{{n_{{r+1}}}}}f_{{r+1}}(x)\right)\left(\sum_{{n_{1}+\cdots+n_{r}=n-n_{r+1}}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}}\prod_{{i=1}}^{r}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)
{d^{n}\over  dx^{n}}\left(f_{{r+1}}(x)\right)\left(\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)=
\sum_{{n_{{r+1}}=0}}^{n}
\sum_{{n_{1}+\cdots+n_{r}=n-n_{r+1}}}
\left({n\atop n_{{r+1}}}\right){n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}}\left({d^{{n_{{r+1}}}}\over dx^{{n_{{r+1}}}}}f_{{r+1}}(x)\right)\left(\prod_{{i=1}}^{r}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)

Korzystając z faktu, że dla liczb n,\, n_1,\,\ldots, n_r,\, n_{r+1} zachodzi

{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}}{n \choose n_{r+1}}=
\frac{(n-n_{r+1})!}{n_1!\,n_2!\,\dots n_r!}\frac{n!}{n_{r+1}!\,(n-n_{r+1})!}=
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\,\dots n_{r+1}!}=
{n \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r},n_{r+1}}

otrzymujemy


{d^{n}\over  dx^{n}}\left(f_{{r+1}}(x)\right)\left(\prod_{{i=1}}^{{r}}f_{i}(x)\right)=
\sum_{{n_{{r+1}}=0}}^{n}
\sum_{{n_{1}+\cdots+n_{r}=n-n_{r+1}}}
{n \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r+1}}
\left({d^{{n_{{r+1}}}}\over dx^{{n_{{r+1}}}}}f_{{r+1}}(x)\right)
\left(\prod_{{i=1}}^{r}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).

Dla ustalonego n_{r+1} ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci


\left({d^{{n_{{r+1}}}}\over dx^{{n_{{r+1}}}}}f_{{r+1}}(x)\right)
\left(\prod_{{i=1}}^{r}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)=
\left(\prod_{{i=1}}^{r+1}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).

Dla ustalonego n_{r+1}, sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach n_1,\ldots, n_{r}, których suma daje n-n_{r+1}. Ale ponieważ robimy tak dla każdego n_{r+1}, od 0 do n, to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach n_1,\ldots, n_{r},n_{r+1}, których suma daje n i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę


{d^{n}\over  dx^{n}}\left(\prod_{{i=1}}^{{r+1}}f_{i}(x)\right)=
\sum_{{n_{1}+\cdots+n_{r}+n_{r+1}=n}}
{n \choose n_{1},n_{2},\ldots,n_{r+1}}
\left(\prod_{{i=1}}^{r+1}\frac{d^{{n_{i}}}}{dx^{{n_{i}}}}f_{i}(x)\right),

co kończy dowód indukcyjny.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]