Wzór Panjera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wzór Panjera – w matematyce ubezpieczeniowej, wzór rekurencyjny wprowadzony w 1981 roku przez Harry'ego Panjera[1] (a następnie uogólniony przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella), służący do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego iż łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa oraz których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

Wzór Panjera[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Założenia[edytuj | edytuj kod]

  • X=0 w przypadku, gdy N=0,
  • Y_{1},Y_{2},\ldots są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa
  • Y_{1},Y_{2},\ldotsparami niezależne
  • Y_{1},Y_{2},\ldots są niezależne od N.
  • X=Y_{1}+\ldots+Y_{N}
  • p_{n}=p_{n-1}\big(a+\frac{b}{n}\big) dla dostatecznie dużych n, tzn. dla n>n_0, gdzie n_0 jest pewną liczbą naturalną.

Wzór rekurencyjny[edytuj | edytuj kod]

  1. 
    \mathbb{P}(X=0)=
    \begin{cases}
        p_{0}                               &f_{0}=0 \\
        \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}(f_{0})^{n} &f_{0}>0
    \end{cases}
  2. 
    \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{1-af_{0}}
    \Bigg(
    \sum_{j=1}^{k}\Big(a+b\frac{j}{k}\Big)f_{j}\mathbb{P}(X=k-j)
    +
    \sum_{n=1}^{m}\bigg(p_{n}-\Big(a+\frac{b}{n}\Big)p_{n-1}\bigg)\cdot \mathbb{P}(X_{n}=k)
    \Bigg)

Klasy rozkładów spełniających założenia wzoru[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Rozkład Panjera.

Klasa rozkładów liczby szkód, spełniających założenia wzoru Panjera z m=0 nazywana jest klasą Panjera, a z m>0 klasą Sundta-Jewella[2]. Zgodnie z założeniami pierwszych m prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których m=0, to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów a i b):

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Wzór Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie wzoru w przypadku ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest jednak wówczas dyskretyzacja takiego rozkładu.

Przypisy

  1. Harry H. Panjer. Recursive evaluation of a family of compound distributions.. „ASTIN Bulletin”. 12/1, s. 22–26, 1981. International Actuarial Association (ang.). 
  2. Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions. „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. doi:10.1002/9780470012505.tas040. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.)
  • Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.)