Wzór de Moivre'a

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli a + bi=|z|(\cos\varphi + i\sin\varphi),\quad oraz n jest całkowite, to

(a + bi)^n=|z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi).

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

z^{\frac{1}{n}}=(|z|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}

Wzór ten odkrył i opublikował Abraham de Moivre.

Spis treści

[edytuj] Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych

[edytuj] Założenie

Dla n=1\quad wzór jest prawdziwy, ponieważ jest to typowa postać liczby zespolonej.
Dla n=k\quad (a+bi)^k=|z|^k (\cos k\varphi+i\sin k\varphi).

[edytuj] Teza

Dla n=k+1\quad, mamy

z^{k+1}=(a+bi)^{k+1}=|z|^{k+1}(\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi)\quad

[edytuj] Dowód

L=(a+bi)^{k+1}=(a+bi)^k(a+bi)=|z|^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi)\cdot |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\quad

=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos\varphi+i\cos k\varphi \sin\varphi+i\sin k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi)=\quad

=|z|^{k+1}\left[\cos k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi+i(\sin k\varphi\cos\varphi+\cos k\varphi \sin\varphi)\right]=\quad

=|z|^{k+1}[\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi]=P\quad_\Box

[edytuj] Uwagi

[edytuj] "Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki"

Warto zwrócić uwagę, że

1^{\frac{1}{n}} = \cos \frac{2 k \pi}{n} + i \sin \frac{2 k \pi}{n}, \quad k \in \{0,\ldots, n-1\}.

[edytuj] Interpretacja z^{\frac{1}{n}} w przestrzeni fazowej

Jeżeli liczbę zespoloną z zinterpretujemy jako wektor w przestrzeni fazowej z = (\Re (z), \Im (z)), to z^{\frac{1}{n}} jest zbiorem n wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt 2π / n) na okręgu o środku w punkcie (0,0).

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%27a”