Wzór de Moivre’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Wzór de Moivre'a)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli a + bi=|z|(\cos\varphi + i\sin\varphi),\quad oraz n jest całkowite, to

(a + bi)^n=|z|^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\quad.

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

z^{\frac{1}{n}}=(|z|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}

Wzór ten odkrył i opublikował Abraham de Moivre.

Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych[edytuj | edytuj kod]

Założenie[edytuj | edytuj kod]

Dla n=1\quad wzór jest prawdziwy, ponieważ jest to typowa postać liczby zespolonej.
Dla n=k\quad (a+bi)^k=|z|^k (\cos k\varphi+i\sin k\varphi).

Teza[edytuj | edytuj kod]

Dla n=k+1\quad, mamy

z^{k+1}=(a+bi)^{k+1}=|z|^{k+1}(\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi)\quad

Dowód[edytuj | edytuj kod]

L=(a+bi)^{k+1}=(a+bi)^k(a+bi)=|z|^k(\cos k\varphi+i\sin k\varphi)\cdot |z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\quad

=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos\varphi+i\cos k\varphi \sin\varphi+i\sin k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi)=\quad

=|z|^{k+1}\left[\cos k\varphi \cos\varphi-\sin k\varphi \sin\varphi+i(\sin k\varphi\cos\varphi+\cos k\varphi \sin\varphi)\right]=\quad

=|z|^{k+1}[\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi]=P\quad_\Box

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki[edytuj | edytuj kod]

Warto zwrócić uwagę, że

 1^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{1} = \cos \frac{2 k \pi}{n} + i \sin \frac{2 k \pi}{n}, \quad k \in \{0,\ldots, n-1\}.

Interpretacja z^{\frac{1}{n}} w przestrzeni fazowej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli liczbę zespoloną "z" zinterpretujemy jako wektor w przestrzeni fazowej z = (\Re (z), \Im (z)), to z^{\frac{1}{n}} jest zbiorem n wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt 2 \pi / n) na okręgu o środku w punkcie (0,0).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]