Wzór trapezów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wzór trapezów – jeden z wielu wzorów służących do przybliżonego obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.

Jeżeli przedział całkowania [a, b] podzielony zostanie punktami x1, x2, ..., xn-1 na n równych części o długościach (b-a)/n, i w figurę ograniczoną na prostymi x = a, x = b, osią odciętych oraz wykresem funkcji y = f(x) wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

Trapezoidal rule-chart.svg

to pola kolejnych trapezów wynoszą:

\frac{b-a}{n}\cdot\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2},\ \frac{b-a}{n}\cdot\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},\ \dots, \frac{b-a}{n}\cdot\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}

gdzie dla jednolitości oznaczono a = x0 i b = xn.

Suma pól trapezów jest w przybliżeniu równa polu całego obszaru, czyli:

\int\limits_a^b f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{{2}{n}}\left(f(x_0)+f(x_n)+2f(x_1)+\dots+2f(x_{n-1})\right).

Ten właśnie wzór nazywany jest wzorem trapezów.

W przypadku funkcji ciągłej na przedziale [a, b], wzór trapezów pozwala obliczać jej całkę oznaczoną na tym przedziale z dowolną dokładnością, wystarczy w tym celu wziąć za n odpowiednio dużą liczbę. Błąd przybliżenia daje się oszacować w przypadku funkcji, która ma na przedziale [a, b] ciągłą drugą pochodną:

|R_n|\le\left|\frac{(b-a)^3}{12n^2}K\right|

gdzie K oznacza największą wartość funkcji |f ′′(x)| w przedziale [a, b].

Obecnie wzór trapezów ma znaczenie wyłącznie historyczne – dostępne programy do całkowania numerycznego stosują o wiele dokładniejsze metody i pozwalają uniknąć czasochłonnych rachunków.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]