Wzory Cramera

Wzory Cramera – w algebrze liniowej zwyczajowa nazwa twierdzenia szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera z 1750 roku opisującego rozwiązanie oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Twierdzenie zachodzi także dla pierścieni przemiennych: warunek niezerowości wyznacznika należy wtedy zastąpić jego odwracalnością (a zerowości – nieodwracalnością).

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania podstawowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie) stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Wprowadzenie

Układ równań nazywa się: sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań; oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym; gdy ma ich więcej (w przypadku ciał nieskończonych, np. liczb rzeczywistych: nieskończenie wiele).

Twierdzenie zwykle podaje się w formie macierzowej, tj. dla macierzowego równania liniowego

$\mathbf{A{\color{RoyalPurple} X}} = {\color{Maroon}\mathbf B}.$

Jego dowód wynika wówczas bezpośrednio z własności wyznacznika oraz macierzy dołączonej.

Twierdzenie wyraża się także w wyjątkowo regularnej postaci wektorowej, a niewiele dłuższy dowód wymaga jedynie znajomości własności wyznacznika. Kolejnym kolumnom macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ odpowiadają wtedy wektory $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n,$ a wektorom kolumnowym $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf X}, \color{Maroon} \mathbf B$ odpowiadają wektory $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x} = ({\color{RoyalPurple} x_1}, \dots, {\color{RoyalPurple} x_n})$ oraz $\scriptstyle {\color{Maroon} \mathbf b} = ({\color{Maroon} b_1}, \dots, {\color{Maroon} b_n}).$ Wówczas powyższe równanie macierzowe jest równoważne równaniu wektorowemu

${\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = {\color{Maroon} \mathbf b}.$

Wyznacznik $\scriptstyle \det \mathbf A$ macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ traktowany jest wtedy jako wyznacznik $\scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n)$ układu wektorów $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n.$

Twierdzenie

Niech dany będzie układ równań liniowych w postaci macierzowej $\scriptstyle \mathbf{A{\color{RoyalPurple} X}} = \color{Maroon} \mathbf B$ z kwadratową macierzą układu stopnia $\scriptstyle n.$ Jeżeli $\scriptstyle \det \mathbf A \ne 0,$ to wspomniany układ jest oznaczony i ma (jednoznaczne) rozwiązanie postaci

${\color{RoyalPurple} \mathbf X} = \frac{\mathbf A^\mathrm D \color{Maroon} \mathbf B}{\det \mathbf A}$

gdzie $\mathbf A^\mathrm D$ oznacza macierz dołączoną do macierzy $\scriptstyle \mathbf A$.

Dla układu równań liniowych w postaci wektorowej $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = {\color{Maroon} \mathbf b}$ rozwiązanie zapisuje się w postaci tzw. wzorów Cramera:

${\color{RoyalPurple} x_1} = \frac{\det({\color{Maroon} \mathbf b},\; \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}{\det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)},$

$\vdots$

${\color{RoyalPurple} x_n} = \frac{\det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1},\; {\color{Maroon} \mathbf b})}{\det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1}, \mathbf a_n)}.$

.

Uwagi

Powyższe wyznaczniki zawierające wektor $\scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b$ w przypadku macierzowym otrzymuje się zamieniając odpowiednią kolumnę macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ za pomocą (jedynej) kolumny macierzy $\scriptstyle \color{Maroon} \mathbf B$ (zob. Przykłady). Równoważność między obiema postaciami wynika z rozwinięcia Laplace'a wyznacznika względem kolejnych kolumn.

Jeśli $\scriptstyle \det \mathbf A = 0,$ to układ jest:

• sprzeczny, gdy choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający $\scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b$ jest różny od zera;
• nieoznaczony lub sprzeczny, gdy wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające $\scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b$ są równe zeru.

Dowody

Twierdzenie ma przejrzystą interpretację geometryczną, gdyż wyznacznik $\scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n)$ jest równy (co do wartości bezwzględnej) $\scriptstyle n$-wymiarowej objętości $\scriptstyle n$-wymiarowego równoległościanu $\scriptstyle \mathrm R(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n)$ rozpinanego przez wektory $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n.$

Objętość $\scriptstyle \mathrm R({\color{RoyalPurple} x_1}\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)$ jest $\scriptstyle \color{RoyalPurple} x_1$ razy większa od objętości $\scriptstyle \mathrm R(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n),$ gdyż jeden z boków równoległoboku został przeskalowany o ten współczynnik. Z kolei z zasady Cavalieriego wynika, iż objętość $\scriptstyle \mathrm R({\color{RoyalPurple} x_1}\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)$ jest równa objętości $\scriptstyle \mathrm R({\color{Maroon} \mathbf b}, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n),$ skąd wynika już wzór na pierwszą współrzędną – „objętości podstaw” $\scriptstyle \mathrm R(\mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)$ i ich „odległości” zostają zachowane, gdyż $\scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b$ zawiera składową „wysokości” $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1,$ zatem objętość równoległościanu także nie ulega zmianie. Poniższy lemat mówi, iż niezdegenerowany równoległościan ma niezerową objętość, a dowód „wektorowy” jest w istocie formalizacją powyższego rozumowania.

W dowodzie „macierzowym” operuje się przekształceniem liniowym (zob. macierz przekształcenia liniowego) opisującym ww. równoległościan wykorzystując niejawnie dodatkową strukturę, tzw. algebrę zewnętrzną, określoną na przestrzeni liniowej, na której działa wspomniane przekształcenie (pod postacią macierzy dołączonej).

Lemat

Układ jest oznaczony wtedy i tylko wtedy, gdy macierz główna $\scriptstyle \mathbf A = [\mathbf a_1 \dots \mathbf a_n]$ układu jest nieosobliwa, tj. ma niezerowy wyznacznik.

Konieczność

Dowód nie wprost. Jeśli $\scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) = 0,$ to układ $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n$ jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor $\scriptstyle y = (y_1, \dots, y_n),$ dla którego

$y_1 \mathbf a_1 + \dots + y_n \mathbf a_n = \mathbf 0,$

co oznacza, że

$({\color{RoyalPurple} x_1} + y_1) \mathbf a_1 + \dots + ({\color{RoyalPurple} x_n} + y_n) \mathbf a_n = \color{Maroon} \mathbf b,$

czyli wektor $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x} + \mathbf y$ jest jeszcze jednym, różnym od $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x},$ rozwiązaniem danego układu.

Dostateczność

Nieosobliwość macierzy $\scriptstyle \mathbf A,$ tzn. $\scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) \ne 0,$ pociąga liniową niezależność układu $\scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n,$ który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ $\scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b$ jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie

${\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = \color{Maroon} \mathbf b$

w tej bazie, zatem $\scriptstyle \color{RoyalPurple} \mathbf x$ jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

Postać wektorowa

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor $\scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x},$ który spełniałby

${\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = {\color{Maroon} \mathbf b},$

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

$\det({\color{Maroon} \mathbf b}, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n) = \det\left(\sum_{i = 1}^n {\color{RoyalPurple} x_i} \mathbf a_i, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n\right) = \sum_{i = 1}^n {\color{RoyalPurple} x_i} \det(\mathbf a_i, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n),$

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

$\det({\color{Maroon} \mathbf b}, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n) = {\color{RoyalPurple} x_1} \det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n),$

skąd jest

${\color{RoyalPurple} x_1} = \frac{\det({\color{Maroon} \mathbf b},\; \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}{\det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}.$

Pozostałe współrzędne wektora $\scriptstyle \color{RoyalPurple} \mathbf x$ otrzymuje się analogicznie.

Postać macierzowa

Dla dowolnej macierzy kwadratowej $\scriptstyle \mathbf A$ zachodzi

$(\det \mathbf A) \mathbf I = \mathbf A^\mathrm D \mathbf A;$

mnożąc prawostronnie przez $\scriptstyle \color{RoyalPurple} \mathbf X$ otrzymuje się

$(\det \mathbf A) {\color{RoyalPurple} \mathbf X} = \mathbf A^\mathrm D \mathbf{A{\color{RoyalPurple} X}} = \mathbf A^\mathrm D {\color{Maroon} \mathbf B},$

a więc

${\color{RoyalPurple} \mathbf X} = \frac{\mathbf A^\mathrm D \color{Maroon} \mathbf B}{\det \mathbf A}$

o ile tylko $\scriptstyle \det \mathbf A \ne 0,$ co daje warunek konieczny istnienia jednoznacznego rozwiązania.

Przykłady

Układ równań

$\begin{cases} a{\color{RoyalPurple} x} + b{\color{RoyalPurple} y} = \color{Maroon} e \\ c{\color{RoyalPurple} x} + d{\color{RoyalPurple} y} = \color{Maroon} f \end{cases}$

zapisany w postaci macierzowej ma postać

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{RoyalPurple} x \\ \color{RoyalPurple} y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{Maroon}e \\ \color{Maroon}f \end{bmatrix}.$

Jego rozwiązania mają wtedy postać

${\color{RoyalPurple} x} = \begin{vmatrix} \color{Maroon} e & b \\ \color{Maroon} f & d \end{vmatrix} \Bigg/ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{{\color{Maroon}e}d - b{\color{Maroon}f}}{ad - bc}$

oraz

${\color{RoyalPurple} y} = \begin{vmatrix} a & \color{Maroon} e \\ c & \color{Maroon} f \end{vmatrix} \Bigg/ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a{\color{Maroon}f} - {\color{Maroon}e}c}{ad - bc}.$

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

$\begin{cases} a{\color{RoyalPurple} x} + b{\color{RoyalPurple} y} + c{\color{RoyalPurple} z} = \color{Maroon} j \\ d{\color{RoyalPurple} x} + e{\color{RoyalPurple} y} + f{\color{RoyalPurple} z} = \color{Maroon} k \\ g{\color{RoyalPurple} x} + h{\color{RoyalPurple} y} + i{\color{RoyalPurple} z} = \color{Maroon} l \end{cases}$

zapisuje się w postaci macierzowej jako

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{RoyalPurple} x \\ \color{RoyalPurple} y \\ \color{RoyalPurple} z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{Maroon}j \\ \color{Maroon} k \\ \color{Maroon} l \end{bmatrix},$

a jego rozwiązaniami są wtedy

${\color{RoyalPurple} x} = \frac{\begin{vmatrix} \color{Maroon} j & b & c \\ \color{Maroon} k & e & f \\ \color{Maroon} l & h & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}}, \quad {\color{RoyalPurple} y} = \frac{\begin{vmatrix} a & \color{Maroon}j & c \\ d & \color{Maroon} k & f \\ g & \color{Maroon} l & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}} \mbox{ oraz } {\color{RoyalPurple} z} = \frac{\begin{vmatrix} a & b & \color{Maroon} j \\ d & e & \color{Maroon} k \\ g & h & \color{Maroon} l \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}}.$

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej. Warszawa-Wrocław: Monografie Matematyczne, 1946, s. 40-43.