Wzory Freneta

Wzory Freneta w geometrii różniczkowej są to wzory opisujące związki pomiędzy wielkościami opisującymi krzywą parametryczną (o parametryzacji naturalnej) w przestrzeni trójwymiarowej.

$\frac{d\bar{t}}{ds} = {\kappa} \bar{n}$

$\frac{d\bar{n}}{ds} = -{\kappa} \bar{t} + {\tau}\bar{b}$

$\frac{d\bar{b}}{ds} = -{\tau} \bar{n}$

Oznaczenia:

• s - parametr naturalny krzywej
• $\bar{t}$ - wektor styczny;
• $\bar{n}$ - wektor normalny;
• $\bar{b}$ - wektor binormalny;
• $\kappa$ - krzywizna krzywej;

• $\tau$ - torsja krzywej;

Wzory Freneta w n wymiarach

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C.Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że r(s) jest gładką krzywą w Rⁿ, sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze n pochodnych r jest liniowo niezależnych. Tylko pierwsze n-1 wymiarów musi być liniowo niezależnych, bo ostatni wektor e_n może być wybrany jako wektor jednostkowy, ortogonalny do przestrzeni liniowej rozpiętej przez pozostałe wektory, tak, aby powstały układ był dodatnio zorientowany. Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną, skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach (r′(s), r′′(s), ..., r⁽ⁿ⁾(s)).

W szczególności, jednostkowy wektor styczny jest pierwszym wektorem układu Freneta e₁(t) i jest zdefiniowany jako

$\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{r}'(s)$

Wektor normalny, czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od linii prostej. Jest zdefiniowany jako

$\overline{\mathbf{e}_2}(s) = \mathbf{r}''(s) - \langle \mathbf{r}''(s), \mathbf{e}_1(s) \rangle \, \mathbf{e}_1(s)$

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta e₂(s) i jest zdefiniowany jako

$\mathbf{e}_2(s) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(s)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(s) \|}$

Wektor styczny i normalny w punkcie s definiują płaszczyznę styczną w punkcie r(s).

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:

$\mathbf{e}_{j}(s) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(s)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(s) \|} \mbox{, } \overline{\mathbf{e}_{j}}(s) = \mathbf{r}^{(j)}(s) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{r}^{(j)}(s), \mathbf{e}_i(s) \rangle \, \mathbf{e}_i(s).$

Funkcje o wartościach rzeczywistych χ_i(s) są nazywane współrzędnymi uogólnionymi i zdefiniowane są jako:

$\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(s), \mathbf{e}_{i+1}(s) \rangle}{\| \mathbf{r}^'(s) \|}$

Wzory Freneta w języku macierzy wyglądają w sposób następujący:

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(s)\\ \vdots \\ \mathbf{e}_n'(s) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \chi_1(s) & & 0 \\ -\chi_1(s) & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0 & \chi_{n-1}(s) \\ 0 & & -\chi_{n-1}(s) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(s) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n(s) \\ \end{bmatrix}$

Zobacz też

• Jean Frédéric Frenet