Wzory Freneta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory Freneta w geometrii różniczkowej są to wzory opisujące związki pomiędzy wielkościami opisującymi krzywą parametryczną (o parametryzacji naturalnej) w przestrzeni trójwymiarowej.

 \frac{d\bar{t}}{ds} = {\kappa} \bar{n}
 \frac{d\bar{n}}{ds} = -{\kappa} \bar{t} + {\tau}\bar{b}
 \frac{d\bar{b}}{ds} = -{\tau} \bar{n}

Oznaczenia:


Wzory Freneta w n wymiarach[edytuj | edytuj kod]

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C.Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że r(s) jest gładką krzywą w Rn, sparametryzowaną przez długość łuku oraz że pierwsze n pochodnych r jest liniowo niezależnych. Tylko pierwsze n-1 wymiarów musi być liniowo niezależnych, bo ostatni wektor en może być wybrany jako wektor jednostkowy, ortogonalny do przestrzeni liniowej rozpiętej przez pozostałe wektory, tak, aby powstały układ był dodatnio zorientowany. Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną, skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach (r′(s), r′′(s), ..., r(n)(s)).

W szczególności, jednostkowy wektor styczny jest pierwszym wektorem układu Freneta e1(t) i jest zdefiniowany jako

\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{r}'(s)

Wektor normalny, czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od linii prostej. Jest zdefiniowany jako

\overline{\mathbf{e}_2}(s) = \mathbf{r}''(s) - \langle \mathbf{r}''(s), \mathbf{e}_1(s) \rangle \, \mathbf{e}_1(s)

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta e2(s) i jest zdefiniowany jako

\mathbf{e}_2(s) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(s)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(s) \|}

Wektor styczny i normalny w punkcie s definiują płaszczyznę styczną w punkcie r(s).

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:


\mathbf{e}_{j}(s) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(s)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(s) \|} 
\mbox{, } 
\overline{\mathbf{e}_{j}}(s) = \mathbf{r}^{(j)}(s) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{r}^{(j)}(s), \mathbf{e}_i(s) \rangle \, \mathbf{e}_i(s).

Funkcje o wartościach rzeczywistych χi(s) są nazywane współrzędnymi uogólnionymi i zdefiniowane są jako:

\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(s), \mathbf{e}_{i+1}(s) \rangle}{\| \mathbf{r}^'(s) \|}

Wzory Freneta w języku macierzy wyglądają w sposób następujący:

 
\begin{bmatrix}
  \mathbf{e}_1'(s)\\
           \vdots \\
 \mathbf{e}_n'(s) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \chi_1(s) &                &             0 \\
 -\chi_1(s) &    \ddots &         \ddots &               \\
            &    \ddots &              0 & \chi_{n-1}(s) \\
          0 &           & -\chi_{n-1}(s) &             0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(s) \\
          \vdots \\
 \mathbf{e}_n(s) \\
\end{bmatrix}


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]