Wzory Viète’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Wzory Viète'a)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a.

Wzory Viète’a[edytuj | edytuj kod]

Niech x_1, x_2, \dots, x_n będą pierwiastkami wielomianu a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,\; a_n\neq 0 o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}

nazywane wzorami Viète’a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim n pierwiastków.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Trójmian kwadratowy[edytuj | edytuj kod]

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) ax^2 + bx + c,\; a\neq 0 wzory te przyjmują postać:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a} \\ x_1 x_2 = \tfrac{c}{a} \end{cases}.

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego \Delta < 0 przy założeniu, że interesują nas zespolone pierwiastki trójmianu.

Wielomian stopnia trzeciego[edytuj | edytuj kod]

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci ax^3 + bx^2 + cx + d,\; a\neq 0, o pierwiastkach x_1, x_2, x_3 wzory te mają postać:

x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Przypadek funkcji kwadratowej[edytuj | edytuj kod]

Niech x_1,x_2 będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej ax^2 + bx + c. Wówczas

a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 + bx + c
a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) = ax^2 + bx + c
-a(x_1 + x_2)x + ax_1 x_2 = bx + c

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

\begin{cases} -a(x_1 + x_2) = b \\ a x_1 x_2 = c \end{cases}

a stąd wzory wspomniane wyżej.

Przypadek ogólny[edytuj | edytuj kod]

Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość

a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)

(która jest prawdziwa, gdyż x_1, x_2, \dots, x_n są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

\begin{cases} a_{n} (x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n) = -a_{n-1} \\ a_{n} (x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n) = a_{n-2} \\ \vdots \\ a_n x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n a_0 \end{cases}

czyli

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}
Zobacz publikację na Wikibooks:
Wzory Viète’a

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra - podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Warszawa: PWN, 1976, s. 244.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]