Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.
Wzór
jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa.
Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:
Funkcje trygonometryczne są okresowe
Definicje tangensa i cotangensa[edytuj | edytuj kod]
Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus[edytuj | edytuj kod]
Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus[edytuj | edytuj kod]
Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]
Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami[edytuj | edytuj kod]
Równości
nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.
Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):
Funkcje sumy i różnicy kątów[edytuj | edytuj kod]
Funkcje wielokrotności kątów[edytuj | edytuj kod]
Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie we wzorach na funkcje sumy kątów.
Ogólnie:
Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta[edytuj | edytuj kod]
Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu gdzie jest funkcją wymierną zmiennych Stosuje się podstawienie:
Osobny artykuł: Wzór Eulera.
Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).
Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi[edytuj | edytuj kod]
Wzór de Moivre’a
lub ogólniej: