Złożenie funkcji

Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

Definicja

Niech $f: X \to Y$ oraz $g: Y \to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h: X \to Z$ taką, że:

$h(x)=g\left(f(x)\right)$.

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ$. Dla powyższych funkcji

$h = g \circ f$,

zatem

$h(x) = g\left(f(x)\right) \equiv (g \circ f)(x)$.

Własności

Łączność operatora składania oznacza, że $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f \circ g \circ h$.

Z istnienia złożenia $g \circ f$ nie wynika istnienie $f \circ g$. Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z$. Mamy wówczas $f \circ g\colon Y \to Y$, w takim przypadku $f \circ g$ na ogół różni się od funkcji $g \circ f$.

Przykład

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1$ i $g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2$. Wtedy

$(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$, natomiast

$(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1$.

Widać, iż $g \circ f$ jest inna niż $f \circ g$.

Struktura grupy

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

• $\Sigma_X$, czyli grupa symetryczna danego zbioru $X$, oznaczana również przez $S_X$ albo $\operatorname{Sym}(X)$, czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X \to X$.
• Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X \to X$ jest półgrupa, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X \to X$, to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f \circ f$ oznacza się zazwyczaj $f^2$. Analogicznie, $f^3 = f \circ f \circ f$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f$, dla której $(f \circ f)(x) = x$ nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f ² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli $f^2 (x) = f(x) \cdot f(x)$ dla każdego $x \in X$. W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ zapis $\sin^2 x$ oznacza właśnie $\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2$.

Zobacz też

• funkcja odwrotna
• reguła łańcuchowa